【正文】 in1|163。3時(shí)y=x9為無(wú)窮小. x+3(2)當(dāng)x185。0時(shí)為無(wú)窮小. x2x9=|x3|. 因?yàn)閑0, $d=e , 當(dāng)0|x3|d時(shí), 有 證明 (1)當(dāng)x185。3時(shí)為無(wú)窮小。|f(x)A|+|A|1+|A|.這就是說(shuō)存在X0及M0, 使當(dāng)|x|X時(shí), |f(x)|M, 其中M=1+|A|. 習(xí)題141. 兩個(gè)無(wú)窮小的商是否一定是無(wú)窮??？舉例說(shuō)明之.解 不一定.例如, 當(dāng)x174。165。時(shí)的極限存在, 則存在X0及M0, 使當(dāng)|x|X時(shí), |f(x)|M.證明 設(shè)f(x)174。時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理: 如果f(x)當(dāng)x174。時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明.解 x174。x0).9. 試給出x174。e ,即f(x)174。x0+d2 , 從而有 | f(x)A|amp。xamp。x0及x0amp。xamp。d 時(shí), 有x0d1amp。|xx0|amp。e .取d=min{d1, d2}, 則當(dāng)0amp。x0+d2時(shí), 有| f(x)A|amp。xamp。0, 使當(dāng)x0amp。$d2amp。lt。lt。lt。gt。gt。e .這說(shuō)明f(x)當(dāng)x174。x0+d 時(shí)都有|f(x)A|amp。xamp。x0和x0amp。xamp。e .因此當(dāng)x0damp。d 時(shí), 有|f(x)A|amp。|xx0|amp。0, $d0, 使當(dāng)0amp。x0), 則eamp。x0 時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性. 設(shè)f(x)174。165。0,$X10, 使當(dāng)xX1時(shí), 有|f(x)A|e 。 證明 因?yàn)閘imf(x)=A, limf(x)=A, 所以eamp。x174。limf(x)=A.x174。時(shí), 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則x174。及x174。07. 證明: 若x174。0x174。0+x limj(x)=limj(x)185。0+x174。0xx174。0因?yàn)閨x|=limx=1, x174。0x174。0xx174。0lim+f(x)=lim+x=lim+1=1, x174。0x174。0時(shí)的左﹑右極限, 并說(shuō)明它們?cè)趚174。0時(shí)極限為零.證明 因?yàn)閨f(x)0|=||x|0|=|x|=|x0|,所以要使|f(x)0|e, 只須|x|e.因?yàn)閷?duì)e0, $d=e, 使當(dāng)0|x0|d, 時(shí)有|f(x)0|=||x|0|e,所以lim|x|=0. x174。時(shí), y=21174。0, 故可設(shè)|x2|1, 即1x3.要使|x24|=|x+2||x2|5|x2|, 只要|x2|=. 5取d=, 則當(dāng)0|x2|d時(shí), 就有|x24|0. 001.2x 4. 當(dāng)x174。？ 解 由于當(dāng)x174。d時(shí), |y4|amp。4. 問(wèn)d等于多少, 使當(dāng)|x2|amp。x3. 當(dāng)x174。xxx所以要使sinx0e, 只須1e, 即x12. exx證明 因?yàn)閑0, $X=1, 當(dāng)xX時(shí), 有 e2x0e, sinx所以limsinx=0. x174。+165。165。165。2x+122. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:31。2x+2 314x=2. (4)lim12x+1x174。 x174。2分析 因?yàn)閨(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|,所以要使|(5x+2)12|e , 只須|x2|1e. 5證明 因?yàn)閑 0, $d=e, 當(dāng)0|x2|d時(shí), 有 |(5x+2)12|e ,所以lim(5x+2)=12. x174。3(2)lim(5x+2)=12。 x174。165。$K2, 當(dāng)2k2K2時(shí), 有|x2ka|e .取N=max{2K11, 2K2}, 只要nN, 就有|xna|e .因此xn174。165。), x2k 174。a(k174。165。),證明: xn174。a(k 174。165。 6. 對(duì)于數(shù)列{xn}, 若x2k1174。M|yn|Me=e, M所以limxnyn=0. n174。165。M. 又limyn=0, 所以e0, $N206。證明 因?yàn)閿?shù)列{xn}有界, 所以存在M, 使n206。n174。存在.5. 設(shè)數(shù)列{xn}有界, 又limyn=0, 證明: limxnyn=0. n174。n174。數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 例如lim|(1)n|=1, 但lim(1)n不n174。|una|e .這就證明了lim|un|=|a|. n174。165。{xn}未必有極限.證明 因?yàn)閘imun=a, 所以e0, $N206。 9=1. 4. limun=a, 證明lim|un|=|a|. 并舉例說(shuō)明: 如果數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列n174。1n個(gè)n174。n個(gè) (4) 4 9=1. 1231e , 即1. 分析 要使| 91|=1, 只須en1+lge10n110n1證明 因?yàn)閑0, $N=[1+lg1], 當(dāng)nN時(shí), 有| 91|e , 所以e4243n174。limn2+a2=1. nn174。 n2222222n+an+anaaa1|==e, 只須n. 分析 要使|22nnen(+a+n)n222an+a證明 因?yàn)閑0, $N=[], 當(dāng)nN時(shí), 有|1|e, 所以nen174。165。165。165。n2n2 (2)lim3n+1=3。n2分析 要使|10|=1e, 只須n21, 即n1. nn1=0. 證明 因?yàn)閑0, $N=[1, 當(dāng)nN時(shí), 有|1, 所以0|elimn174。 n174。||co163。n其極限之差的絕對(duì)值小于正數(shù)e , 當(dāng)e =, 求出數(shù)N. 解 limxn=0. n174。時(shí), xn=n(1)n沒有極限.cos. 問(wèn)limx=? 求出N, 使當(dāng)nN時(shí), x與 2. 設(shè)數(shù)列{xn}的一般項(xiàng)xn=nnn174。n+1n+1n+1(5) xn=n(1)n.解 當(dāng)n174。0, limn1=1. n174。165。n2n2(4)xn=n1。2, lim(2+n174。165。nn(3)xn=2+1。0, lim(1)n1=0. n174。165。2n2n(2)xn=(1)n1。0, limn174。165。10002=21000(元).習(xí)題121. 觀察一般項(xiàng)xn如下的數(shù)列{xn}的變化趨勢(shì), 寫出它們的極限:(1)xn=1n。 (3) P=31180。15x x179。239。x163。1600238。 p= 100x1600.239。x163。=910. 01x.綜合上述結(jié)果得到236。100時(shí), p=90.(x0100)=9075, 得x0=1600. 因此當(dāng)x179。(3)某一商行訂購(gòu)了1000臺(tái), 廠方可獲利潤(rùn)多少？解 (1)當(dāng)0163。(圖137). 當(dāng)過(guò)水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時(shí), 求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式, 并指明其定義域. 圖137解BC= AB=DC=hsin40, 又從1h[BC+(BC+2cot40oh)]=S02得S0ocot40h, 所以 hS02cos40oL=+h. hsin40自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組Soh0, cot40h0 h確定, 定義域?yàn)?h0cot40.20. 收斂音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元, 成本為60元. 廠方為鼓勵(lì)銷售商大量采購(gòu), 決定凡是訂購(gòu)量超過(guò)100臺(tái)以上的, 每多訂購(gòu)1臺(tái), 售價(jià)就降低1分, 但最低價(jià)為每臺(tái)75元.(1)將每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)p表示為訂購(gòu)量x的函數(shù)。e |x|1238。e1 | x |239。1 |x|=1. g[f(x)]=ef(x)=237。239。e1 | x | 1236。1 x0238。1 |ex|1239。0 |ex|=1, 即f[g(x)]=237。239。1 |ex|1236。238。 18. 設(shè)f(x)=237。1時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)閇a, 1a], 當(dāng)a1時(shí)函數(shù)無(wú)意義. 22236。1a。1時(shí), a163。xa163。x+a163。x163。x+a163。0)。2 ) .(3) f(x+a)(aamp。2 ), 所以函數(shù)f(sin x)的定義域?yàn)閇2np, (2n+1)p] (n=0, 177。(2n+1)p (n=0, 177。1得2np163。解 由0163。1得|x|163。解 由016