【正文】 74。時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則x174。及x174。07. 證明: 若x174。0x174。0+x limj(x)=limj(x)185。0+x174。0xx174。0因為|x|=limx=1, x174。0x174。0xx174。0lim+f(x)=lim+x=lim+1=1, x174。0x174。0時的左﹑右極限, 并說明它們在x174。0時極限為零.證明 因為|f(x)0|=||x|0|=|x|=|x0|,所以要使|f(x)0|e, 只須|x|e.因為對e0, $d=e, 使當0|x0|d, 時有|f(x)0|=||x|0|e,所以lim|x|=0. x174。時, y=21174。0, 故可設|x2|1, 即1x3.要使|x24|=|x+2||x2|5|x2|, 只要|x2|=. 5取d=, 則當0|x2|d時, 就有|x24|0. 001.2x 4. 當x174。？ 解 由于當x174。d時, |y4|amp。4. 問d等于多少, 使當|x2|amp。x3. 當x174。xxx所以要使sinx0e, 只須1e, 即x12. exx證明 因為e0, $X=1, 當xX時, 有 e2x0e, sinx所以limsinx=0. x174。+165。165。165。2x+122. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:31。2x+2 3 (4)lim14x=2.x174。 (3)limx174。2分析 因為|(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|,所以要使|(5x+2)12|e , 只須|x2|1e. 5證明 因為e 0, $d=e, 當0|x2|d時, 有 |(5x+2)12|e ,所以lim(5x+2)=12. x174。3(2)lim(5x+2)=12。 x174。165。 $K2, 當2k2K2時, 有|x2ka|e .取N=max{2K11, 2K2}, 只要nN, 就有|xna|e . 因此xn174。165。), x2k 174。a(k174。165。), 證明: xn174。a(k 174。165。 6. 對于數(shù)列{xn}, 若x2k1174。M|yn|Me=e, M所以limxnyn=0. n174。165。M. 又limyn=0, 所以e0, $N206。 證明 因為數(shù)列{xn}有界, 所以存在M, 使n206。n174。存在.5. 設數(shù)列{xn}有界, 又limyn=0, 證明: limxnyn=0. n174。n174。數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 例如lim|(1)n|=1, 但lim(1)n不n174。|una|e .這就證明了lim|un|=|a|. n174。165。{xn}未必有極限.證明 因為limun=a, 所以e0, $N206。 9=1. 4. limun=a, 證明lim|un|=|a|. 并舉例說明: 如果數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列n174。1n個n174。n個 (4) 4 9=1. 1231e , 即1. 分析 要使| 91|=1, 只須en1+lge10n110n1證明 因為e0, $N=[1+lg1], 當nN時, 有| 91|e , 所以e4243n174。limn2+a2=1. nn174。 n2222222n+an+anaaa1|==e, 只須n. 分析 要使|22nnn(+a+n)n222an+a證明 因為e0, $N=[], 當nN時, 有|1|e, 所以nen174。165。165。165。n2n2 (2)lim3n+1=3。n 分析 要使|120|=12e, 只須n21, 即n1. enn1=0. 證明 因為e0, $N=[1, 當nN時, 有|1, 所以0|elimn174。 n174。||co163。n極限之差的絕對值小于正數(shù)e , 當e =, 求出數(shù)N. 解 limxn=0. n174。時, xn=n(1)n沒有極限.cos. 問limx=? 求出N, 使當nN時, x與其 2. 設數(shù)列{xn}的一般項xn=nnn174。n+1n+1n+1(5) xn=n(1)n.解 當n174。0, limn1=1. n174。165。n2n2(4)xn=n1。2, lim(2+n174。165。nn(3)xn=2+1。0, lim(1)n1=0. n174。165。2n2n(2)xn=(1)n1。0, limn174。165。10002=21000(元). 習題121. 觀察一般項xn如下的數(shù)列{xn}的變化趨勢, 寫出它們的極限:(1)xn=1n。 (3) P=31180。15x x179。239。x163。1600238。 p= 100x1600.239。x163。=910. 01x.綜合上述結(jié)果得到236。100時, p=90.(x0100)=9075, 得x0=1600. 因此當x179。(3)某一商行訂購了1000臺, 廠方可獲利潤多少？解 (1)當0163。(圖137). 當過水斷面ABCD的面積為定值S0時, 求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關系式, 并指明其定義域. 圖137解BC= AB=DC=hsin40, 又從1h[BC+(BC+2cot40oh)]=S02得Socot40h, 所以 hS2cos40oL=+h. hsin40自變量h的取值范圍應由不等式組Soh0, 0cot40h0 h確定, 定義域為0h0cot40.20. 收斂音機每臺售價為90元, 成本為60元. 廠方為鼓勵銷售商大量采購, 決定凡是訂購量超過100臺以上的, 每多訂購1臺, 售價就降低1分, 但最低價為每臺75元.(1)將每臺的實際售價p表示為訂購量x的函數(shù)。e |x|1238。e1 | x |239。1 |x|=1. g[f(x)]=ef(x)=237。239。e1 | x | 1236。1 x0238。1 |ex|1239。0 |ex|=1, 即f[g(x)]=237。239。1 |ex|1236。238。0 |x|=1, g(x)=ex 錯誤！未指定書簽。1 |x|1239。 當a1時, 無解. 因此22當0a163。x163。1得: 當0a163。1且0163。1a, 所以函數(shù)f(x+a)的定義域為[a, 1a].(4) f(x+a)+f(xa)(a0).解 由0163。1得a163。解 由0163。gt。1, 177。1, 177。x163。sin x163。1, 所以函數(shù)f(x2)的定義域為[1, 1].(2) f(sinx)。x2163。解 y=ex, y1=e0=1, y2=e1=e.(5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=1.解 y=e2x, y1=e21=e2, y2=e2(1)=e2. 17. 設f(x)的定義域D=[0, 1], 求下列各函數(shù)的定義域:(1) f(x2)。 84解 y=sin2x, y1=sin(2p)=sinp=,y2=sin(2p)=sinp=1. 84242(3)y=, u=1+x2, x1=1, x2= 2。M.這就證明了f(x)在X上有界.16. 在下列各題中, 求由所給函數(shù)復合而成的函數(shù), 并求這函數(shù)分別對應于給定自變量值x1和x2的函數(shù)值:(1) y=u2, u=sin x, x1=p, x2=p。 K2163。 K1163。f(x)163。f(x)163。解 由y=1+ln(x+2)得x=ey12, 所以y=1+ln(x+2)的反函數(shù)為y=ex12.x2 (6)y=x. 2+1xxy2x. 解 由y=2得, 所以的反函數(shù)為