【正文】 m2. x174。124xx22x (9)lim26x+8。x3x1x174。x43x211+123x+x=lim=0. 或 limx174。x3x21x2+x=0lim 解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). x174。 x174。165。165。165。x2xx22x1 (7)lim。xx174。x174。xx21+lim1=2. 解 lim(21+1)=2limx174。 x174。0h174。0h222(x+h)2x2x+2hx+hx=lim=lim(2x+h)=2x. 解 limh174。03x+22(x+h)2x2 (5)lim。03x2+2x4x32x2+x=lim4x22x+1=1 解 lim. x174。1x+12x1324x2x+x (4)lim。1x174。 2x174。x2+12()23x3 解 2==0. x174。2x323x23 (2)。 x174。0+時的無窮xx大.證明 函數(shù)y=1sin1在區(qū)間(0, 1]上無界. 這是因?yàn)?xxM0, 在(0, 1]中總可以找到點(diǎn)xk, 使y(xk)M. 例如當(dāng)x=1(k=0, 1, 2, ) k2kp+2時, 有y(xk)=2kp+p, 2當(dāng)k充分大時, y(xk)M.當(dāng)x174。+165。, +165。, +165。+165。, +165。0時x為無窮小, 所以.x174。xxxx1x2=1+x1x2=1lim (2)因?yàn)?x185。 時1是無窮小, 所以lim2x+1=2. x174。01x解 (1)因?yàn)?x+1=2+1, 而當(dāng)x174。165。0時, 函數(shù)y=1+2x是無窮大. x1. 當(dāng)0|x0|1時, |y|104. 取M=104, 則d=410+2104+24. 求下列極限并說明理由:(1)lim2x+1。0時的無窮大. 問x應(yīng)滿足什么條件, x能使|y|104？11+2x=2+1179。|x0|d=e, x所以當(dāng)x174。0時|y|=|x||sin1|163。3時|y|=x9=|x3|. 因?yàn)閑0, $d=e , 當(dāng)0|x3|d時, 有 x+32x9=|x3|d=e|y|=, x+32x所以當(dāng)x174。0時為無窮小. x15a(x)2a(x)=, 不是無x174。3時為無窮小。|f(x)A|+|A|1+|A|.這就是說存在X0及M0, 使當(dāng)|x|X時, |f(x)|M, 其中M=1+|A|.習(xí)題141. 兩個無窮小的商是否一定是無窮??？舉例說明之.解 不一定.例如, 當(dāng)x174。165。時的極限存在, 則存在X0及M0, 使當(dāng)|x|X時, |f(x)|M.證明 設(shè)f(x)174。時函數(shù)極限的局部有界性的定理: 如果f(x)當(dāng)x174。時函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明.解 x174。x0).9. 試給出x174。e ,即f(x)174。x0+d2 , 從而有 | f(x)A|amp。xamp。x0及x0amp。xamp。d 時, 有x0d1amp。|xx0|amp。e .取d=min{d1, d2}, 則當(dāng)0amp。x0+d2時, 有| f(x)A|amp。xamp。0, 使當(dāng)x0amp。$d2amp。lt。lt。lt。gt。gt。e .這說明f(x)當(dāng)x174。x0+d 時都有|f(x)A|amp。xamp。x0和x0amp。xamp。e .因此當(dāng)x0damp。d 時, 有|f(x)A|amp。|xx0|amp。0, $d0, 使當(dāng)0amp。x0), 則eamp。x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性. 設(shè)f(x)174。165。$X10, 使當(dāng)xX1時, 有|f(x)A|e 。x174。0, x174。limf(x)=A.14 證明 因?yàn)閘imf(x)=A, limf(x)=A, 所以eamp。時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則x174。及x174。07. 證明: 若x174。0x174。0+x limj(x)=limlimj(x)185。0+x174。0xx174。0因?yàn)閨x|=limx=1, x174。0x174。0xx174。0lim+f(x)=lim+x=lim+1=1, x174。0x174。0時的左﹑右極限, 并說明它們在x174。0時極限為零.證明 因?yàn)閨f(x)0|=||x|0|=|x|=|x0|,所以要使|f(x)0|e, 只須|x|e.因?yàn)閷0, $d=e, 使當(dāng)0|x0|d, 時有|f(x)0|=||x|0|e,所以lim|x|=0. x174。時, y=x21174。0, 故可設(shè)|x2|1, 即1x3.要使|x24|=|x+2||x2|5|x2|, 只要|x2|=. 513 取d=, 則當(dāng)0|x2|d時, 就有|x24|0. 001.2 4. 當(dāng)x174。？ 解 由于當(dāng)x174。d時, |y4|amp。4. 問d等于多少, 使當(dāng)|x2|amp。 3. 當(dāng)x174。 sinx所以要使sinx0e, 只須x證明 因?yàn)閑0, $X=11. 1e, 即x1. exe2, 當(dāng)xX時, 有sinx0e, xsinx=0所以lim. x174。+165。165。165。 2. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:31+x=1。2x+2 314x (4)lim=2. 2x+1x174。 x174。2分析 因?yàn)閨(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|,所以要使|(5x+2)12|e , 只須|x2|1e. 5證明 因?yàn)閑 0, $d=e, 當(dāng)0|x2|d時, 有 |(5x+2)12|e ,所以lim(5x+2)=12. x174。3(2)lim(5x+2)=12。 x174。165。 $K2, 當(dāng)2k2K2時, 有|x2ka|e .取N=max{2K11, 2K2}, 只要nN, 就有|xna|e . 因此xn174。165。), x2k 174。a(k174。165。), 證明: xn174。a(k 174。165。 6. 對于數(shù)列{xn}, 若x2k1174。M|yn|Me=e, M所以limxnyn=0. n174。165。M. 又limyn=0, 所以e0, $N206。 證明 因?yàn)閿?shù)列{xn}有界, 所以存在M, 使n206。n174。存在.5. 設(shè)數(shù)列{xn}有界, 又limyn=0, 證明: limxnyn=0. n174。n174。數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 例如lim|(1)n|=1, 但lim(1)n不n174。|una|e .這就證明了lim|un|=|a|. n174。165。{xn}未必有極限.10 證明 因?yàn)閘imun=a, 所以e0, $N206。 9=1. 4. limun=a, 證明lim|un|=|a|. 并舉例說明: 如果數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列n174。1n個n174。n個1e , 即1. 分析 要使| 91|=1, 只須en1+lg10n110證明 因?yàn)閑0, $N=[1+lg1], 當(dāng)nN時, 有| 91|e , 所以e4243n174。n(4) 9=1. 1243n174。n2222222an+a+anaa 分析 要使|1|==e, 只須n. 22nnn(n+a+n)n22a2]n+aN=[1|e, 所以證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)nN時, 有|n22+alim=1. n174。 n174。165。165。n2n2 (2)lim3n+1=3。n21e, 只須n21, 即n1. 分析 要使|10|=en2n211=0. 證明 因?yàn)閑0, $N=[], 當(dāng)nN時, 有|1, 所以0|elimn174。 n174。||co163。nn極限之差的絕對值小于正數(shù)e , 當(dāng)e =, 求出數(shù)N. 解 limxn=0. n174。時, xn=n(1)n沒有極限.cos. 問limx=? 求出N, 使當(dāng)nN時, x與其 2. 設(shè)數(shù)列{xn}的一般項(xiàng)xn=nn174。n+1n+1n+1(5) xn=n(1)n.解 當(dāng)n174。0, limn1=1. n174。165。n2n (4)xn=n1。2, lim(2+n174。165。nn(3)xn=2+1。0, lim(1)n1=0. n174。165。2n2n(2)xn=(1)n1。0, limn174。165。10002=21000(元). 8 習(xí)題121. 觀察一般項(xiàng)xn如下的數(shù)列{xn}的變化趨勢, 寫出它們的極限:(1)xn=1。(3) P=31180。15x x179。239。x163。1600238。100x1600. p=239。100236。=910. 01x.綜合上述結(jié)果得到0163。100時, p=90.(x0100)=9075, 得x0=1600. 因此當(dāng)x179。(3)某一商行訂購了1000臺, 廠方可獲利潤多少？解 (1)當(dāng)0163。(圖137). 當(dāng)過水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時, 求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的7 函數(shù)關(guān)系式, 并指明其定義域.圖137解 AB=DC=h, sin40SoBC=cot40h, 所以 h又從1h[BC+(BC+2cot40oh)]=S02得S2cos40oL=+h. hsin40自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組Soh0, cot40h0 h確定, 定義域?yàn)?hS0cot40.20. 收斂音機(jī)每臺售價為90元, 成本為60元. 廠方為鼓勵銷售商大量采購, 決定凡是訂購量超過100臺以上的, 每多訂購1臺, 售價就降低1分, 但最低價為每臺75元.(1)將每臺的實(shí)際售價p表示為訂購量x的函數(shù)。e 238。239。e0 |x|=1, 即g[f(x)]=237。239。e1 |x|1236。1 x0238。239。0 |ex|=1, 即f[g(x)]=237。239。1