【正文】 即x=x 是方程x53x=1的介于1和2之間的根. 因此方程x53x=1至少有一個根介于1和2之間. 2. 證明方程x=asinx+b, 其中a0, b0, 至少有一個正根, 并且它不超過a+b.證明 設(shè)f(x)=asin x+bx, 則f(x)是[0, a+b]上的連續(xù)函數(shù). f(0)=b, f(a+b)=a sin (a+b)+b(a+b)=a[sin(a+b)1]163。0. 若f(a+b)=0, 則說明x=a+b就是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根。 若f(a+b)0, 則f(0)f(a+b)0, 由零點定理, 至少存在一點x206。(0, a+b), 使f(x)=0, 這說明x=x 也是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根. 總之, 方程x=asinx+b至少有一個正根, 并且它不超過a+b. 3. 設(shè)函數(shù)f(x)對于閉區(qū)間[a, b]上的任意兩點x、y, 恒有|f(x)f(y)|163。L|xy|, 其中L為正常數(shù), 且f(a)f(b)0. 證明: 至少有一點x206。(a, b), 使得f(x)=0. 證明 設(shè)x0為(a, b)內(nèi)任意一點. 因為 , 所以 , 即 . 因此f(x)在(a, b)內(nèi)連續(xù). 同理可證f(x)在點a處左連續(xù), 在點b處右連續(xù), 所以f(x)在[a, b]上連續(xù). 因為f(x)在[a, b]上連續(xù), 且f(a)f(b)0, 由零點定理, 至少有一點x206。(a, b), 使得f(x)=0.4. 若f(x)在[a, b]上連續(xù), ax1x2 xnb, 則在[x1, xn]上至少有一點x , 使 .證明 顯然f(x)在[x1, xn]上也連續(xù). 設(shè)M和m分別是f(x)在[x1, xn]上的最大值和最小值. 因為xi206。[x1, xn](1163。 i163。n), 所以有m163。f(xi)163。M, 從而有 , . 由介值定理推論, 在[x1, xn]上至少有一點x , 使 . 5. 證明: 若f(x)在(165。, +165。)內(nèi)連續(xù), 且存在, 則f(x)必在(165。, +165。)內(nèi)有界.證明 令, 則對于給定的e0, 存在X0, 只要|x|X, 就有 |f(x)A|e , 即Aef(x)A+e . 又由于f(x)在閉區(qū)間[X, X]上連續(xù), 根據(jù)有界性定理, 存在M0, 使|f(x)|163。M, x206。[X, X]. 取N=max{M, |Ae|, |A+e|}, 則|f(x)|163。N, x206。(165。, +165。), 即f(x)在(165。, +165。)內(nèi)有界.6. 在什么條件下, (a, b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)為一致連續(xù)？總習題一 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個正確的填入下列空格內(nèi): (1)數(shù)列{xn}有界是數(shù)列{xn}收斂的________條件. 數(shù)列{xn}收斂是數(shù)列{xn}有界的________的條件. (2)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的________條件. 存在是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界的________條件. (3) f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界是的________條件. 是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界的________條件. (4)f(x)當x174。x0時的右極限f(x0+)及左極限f(x0)都存在且相等是存在的________條件. 解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要. 2. 選擇以下題中給出的四個結(jié)論中一個正確的結(jié)論: 設(shè)f(x)=2x+3x2, 則當x174。0時, 有( ). (A)f(x)與x是等價無窮小。 (B)f(x)與x同階但非等價無窮小。 (C)f(x)是比x高階的無窮小。 (D)f(x)是比x低階的無窮小. 解 因為 (令2x1=t, 3x1=u) .所以f(x)與x同階但非等價無窮小, 故應選B. 3. 設(shè)f(x)的定義域是[0, 1], 求下列函數(shù)的定義域: (1) f(ex)。 (2) f(ln x)。 (3) f(arctan x)。 (4) f(cos x). 解 (1)由0163。ex163。1得x163。0, 即函數(shù)f(ex)的定義域為(165。, 0]. (2) 由0163。 ln x163。1得1163。x163。e , 即函數(shù)f(ln x)的定義域為[1, e]. (3) 由0163。 arctan x 163。1得0163。x163。tan 1, 即函數(shù)f(arctan x)的定義域為[0, tan 1]. (4) 由0163。 cos x163。1得(n=0, 177。1, 177。2, ), 即函數(shù)f(cos x)的定義域為[], (n=0, 177。1, 177。2, ). 4. 設(shè) , , 求f[f(x)], g[g(x)], f[g(x)], g[f(x)]. 解 因為f(x)179。0, 所以f[f(x)]=f(x)。 因為g(x)163。0, 所以g[g(x)]=0。 因為g(x)163。0, 所以f[g(x)]=0。 因為f(x)179。0, 所以g[f(x)]=f 2(x). 5. 利用y=sin x的圖形作出下列函數(shù)的圖形: (1)y=|sin x|。 (2)y=sin|x|。 (3). 6. 把半徑為R的一圓形鐵片, 自中心處剪去中心角為a的一扇形后圍成一無底圓錐. 試將這圓錐的體積表為a的函數(shù). 解 設(shè)圍成的圓錐的底半徑為r, 高為h, 依題意有 R(2pa)=2pr , , . 圓錐的體積為 (0a2p). 7. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明. 證明 對于任意給定的e0, 要使, 只需|x3|e, 取d=e, 當0|x3|d時, 就有|x3|e, 即, 所以. 8. 求下列極限: (1)。 (2)。 (3)。 (4)。 (5)(a0, b0, c0)。 (6). 解 (1)因為, 所以. (2) . (3) . (4) (提示: 用等價無窮小換). (5), 因為 , , 所以 . 提示: 求極限過程中作了變換ax1=t, bx1=u, cx1=v. (6), 因為 , , 所以 . 9. 設(shè), 要使f(x)在(165。, +165。)內(nèi)連續(xù), 應怎樣選擇數(shù)a? 解 要使函數(shù)連續(xù), 必須使函數(shù)在x=0處連續(xù). 因為f(0)=a, , , 所以當a=0時, f(x)在x=0處連續(xù). 因此選取a=0時, f(x)在(165。, +165。)內(nèi)連續(xù). 10. 設(shè), 求f(x)的間斷點, 并說明間斷點所屬類形. 解 因為函數(shù)f(x)在x=1處無定義, 所以x=1是函數(shù)的一個間斷點. 因為(提示), (提示), 所以x=1是函數(shù)的第二類間斷點. 又因為, , 所以x=0也是函數(shù)的間斷點, 且為第一類間斷點. 11. 證明. 證明 因為, 且 , , 所以. 12. 證明方程sin x+x+1=0在開區(qū)間內(nèi)至少有一個根. 證明 設(shè)f(x)=sin x+x+1, 則函數(shù)f(x)在上連續(xù). 因為, , , 所以由零點定理, 在區(qū)間內(nèi)至少存在一點x, 使f(x)=0. 這說明方程sin x+x+1=0在開區(qū)間內(nèi)至少有一個根. 13. 如果存在直線L: y=kx+b, 使得當x174。165。(或x174。+165。, x174。165。)時, 曲線y=f(x)上的動點M(x, y)到直線L的距離d(M, L)174。0, 則稱L為曲線y=f(x)的漸近線. 當直線L的斜率k185。0時, 稱L為斜漸近線. (1)證明: 直線L: y=kx+b為曲線y=f(x)的漸近線的充分必要條件是 , . (2)求曲線的斜漸近線. 證明 (1) 僅就x174。165。的情況進行證明. 按漸近線的定義, y=kx+b是曲線y=f(x)的漸近線的充要條件是 . 必要性: 設(shè)y=kx+b是曲線y=f(x)的漸近線, 則, 于是有 222。222。, 同時有 222。. 充分性: 如果, , 則 , 因此y=kx+b是曲線y=f(x)的漸近線. (2)因為, , 所以曲線的斜漸近線為y=2x+1. 30