【正文】 4. 利用等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì), 求下列極限:(1)limtan3x。 x174。02x2sin(xn) (2)lim(n, m為正整數(shù))。 x174。0(sinx)msinx。 (3)limtanxx174。0sin3x(4)limsinxtanx. x174。0(+x21)(+sinx1)解 (1)limtan3x=lim3x=3. x174。02xx174。02x21 n=mn236。239。sin(xn)=limxm=237。0 nm. (2)limmx174。0(sinx)x174。0x239。238。165。 nm1x2sinx(11)sinx=lim=lim1cosx=lim=1. (3)limtanxx174。0x174。0x174。0cosxsinxx174。0xcosx2sinxsinx(4)因?yàn)?x sinxtanx=tanx(coxs1)=2tanxsin~2x(x2=1x3(x174。0), 2222x1x2(x174。0), +x1=~1+x2)2++x2+132x1= +sinsinx~sinx~x(x174。0), +sinx+125 1x3sinxtanx所以 lim=li=3. x174。0(+x21+sinx1)x174。0x2x3 5. 證明無(wú)窮小的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì):(1) a ~a (自反性)。(2) 若a ~b, 則b~a(對(duì)稱(chēng)性)。(3)若a ~b, b~g, 則a~g(傳遞性).證明 (1)lima=1, 所以a ~a 。 ab (2) 若a ~b, 則lima=1, 從而lim=1. 因此b~a 。 bab (3) 若a ~b, b~g, lima=limlima=1. 因此a~g. 習(xí)題181. 研究下列函數(shù)的連續(xù)性, 并畫(huà)出函數(shù)的圖形:236。x2 0163。x163。1 (1)f(x)=237。 2x 1x163。2238。解 已知多項(xiàng)式函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 所以函數(shù)f(x)在[0, 1)和(1, 2] 在x=1處, 因?yàn)閒(1)=1, 并且f(x)=lim(2x)=1. f(x)=limx2=1, lim lim++x174。1x174。1x174。1x174。1所以limf(x)=1, 從而函數(shù)f(x)在x=1處是連續(xù)的. x174。1綜上所述，函數(shù)f(x)在[0, 2]上是連續(xù)函數(shù).236。x 1163。x163。1 (2)f(x)=237。. 1 |x|1238。解 只需考察函數(shù)在x=1和x=1處的連續(xù)性.在x=1處, 因?yàn)閒(1)=1, 并且limf(x)=lim1=1185。f(1), x174。1x174。126 lim+f(x)=lim+x=1=f(1), x174。1x174。1所以函數(shù)在x=1處間斷, 但右連續(xù).在x=1處, 因?yàn)閒(1)=1, 并且f(x)=limx=1=f(1), limf(x)=lim1=1=f(1), lim++x174。1x174。1x174。1x174。1所以函數(shù)在x=1處連續(xù).綜合上述討論, 函數(shù)在(165。, 1)和(1, +165。) 2. 下列函數(shù)在指出的點(diǎn)處間斷, 說(shuō)明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類(lèi), 如果是可去間斷點(diǎn), 則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù):2x (1)y=21, x=1, x=2。 x3x+22(x+1)(x1)x 解 y=1=. 因?yàn)楹瘮?shù)在x=2和x=1處無(wú)定義, 所以x=2和x3x+2(x2)(x1)x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn).2x1=165。 因?yàn)閘imy=lim2, 所以x=2是函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)。 x174。2x174。2x3x+2因?yàn)閘imy=limx174。1(x+1)=2, 所以x=1是函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn), 并且是可去間斷x174。1(x2)點(diǎn). 在x=1處, 令y=2, 則函數(shù)在x=1處成為連續(xù)的.(2)y=x, x=k, x=kp+p (k=0, 177。1, 177。2, )。 tanx2解 函數(shù)在點(diǎn)x=kp(k206。Z)和x=kp+ p(k206。Z)處無(wú)定義, 因而這些點(diǎn)都是函數(shù)的2間斷點(diǎn).因limx=165。(k185。0), 故x=kp(k185。0)是第二類(lèi)間斷點(diǎn)。 x174。kptanx因?yàn)閘imx=1, x174。0tanxlimx174。kp+p2x=0(k206。Z), 所以x=0和x=kp+ p(k206。Z) 是第一tanx2類(lèi)間斷點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn).令y|x=0=1, 則函數(shù)在x=0處成為連續(xù)的。令x=kp+ p時(shí), y=0, 則函數(shù)在x=kp+ p處成為連續(xù)的. 22(3)y=cos21, x=0。 x27 解 因?yàn)楹瘮?shù)y=cos21在x=0處無(wú)定義, 所以x=0是函數(shù)y=cos21的間斷點(diǎn). xx又因?yàn)閘imcos21不存在, 所以x=0是函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn). x174。0x236。x1 x163。1 (4)y=237。, x =1. 3 x x1238。f(x)=lim(x1)=0limf(x)=lim(3x)=2, 所以x=1是函數(shù)的第 解 因?yàn)閘im++x174。1x174。1x174。1x174。1一類(lèi)不可去間斷點(diǎn).2n1xx的連續(xù)性, 若有間斷點(diǎn), 判別其類(lèi)型. 3. 討論函數(shù)f(x)=limn174。165。1+x2n236。x |x|12n239。1xx= 解 f(x)=lim237。0 |x|=1. n174。165。1+x2n239。238。x |x|1在分段點(diǎn)x=1處, 因?yàn)閘imf(x)=lim(x)=1, lim+f(x)=lim+x=1, 所以x174。1x174。1x174。1x174。1x=1為函數(shù)的第一類(lèi)不可去間斷點(diǎn).f(x)=lim(x)=1, 所以x=1 在分段點(diǎn)x=1處, 因?yàn)閘imf(x)=limx=1, lim++x174。1x174。1x174。1x174。1為函數(shù)的第一類(lèi)不可去間斷點(diǎn).4. 證明: 若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)且f(x0)185。0, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當(dāng)x206。U(x0)時(shí), f(x)185。0. 證明 不妨設(shè)f(x0)amp。gt。0. 因?yàn)閒(x)在x0連續(xù), 所以limf(x)=f(x0)0, 由極限的局x174。x0部保號(hào)性定理, 存在x0的某一去心鄰域U(x0), 使當(dāng)x206。U(x0)時(shí)f(x)amp。gt。0, 從而當(dāng)x206。U(x0)時(shí), f(x)amp。gt。0. 這就是說(shuō), 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當(dāng)x206。U(x0)時(shí), f(x)185。0. 5. 試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的例子:(1)x=0, 177。1, 177。2, 177。1, , 177。n, 177。1, 是f(x)的所有間斷點(diǎn), 且它們都是無(wú)窮間2n斷點(diǎn)。p 解 函數(shù)f(x)=csc(px)+在點(diǎn)x=0, 177。1, 177。2, 177。1, , 177。n, 177。1, 處是間斷的 x2n且這些點(diǎn)是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn).(2)f(x)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|在R上處處連續(xù)。28oo236。1 x206。Q 解 函數(shù)f(x)=237。在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|=1在R上處處連續(xù). 1 x207。Q238。(3)f(x)在R上處處有定義, 但僅在一點(diǎn)連續(xù).x206。Q236。x 解 函數(shù)f(x)=237。在R上處處有定義, 它只在x=0處連續(xù). x x207。Q238。習(xí)題1932x+3xx3 1. 求函數(shù)f(x)=的連續(xù)區(qū)間, 并求極限limf(x), limf(x)及x174。0x174。3x+x6limf(x). x174。232x+3xx3=(x+3)(x1)(x+1), 函數(shù)在(165。, +165。) 解 f(x)=(x+3)(x2)x+x6外是連續(xù)的, 所以函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(165。, 3)、(3, 2)、(2, +165。). 在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)x=0處, limf(x)=f(0)=1. x174。02在函數(shù)的間斷點(diǎn)x=2和x=3處,limf(x)=limx174。2(x1)(x+1)(x+3)(x1)(x+1)=8. =165。, limf(x)=limx174。3x174。3x174。2x25(x+3)(x2)2. 設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 證明函數(shù)j(x)=max{f(x), g(x)}, y(x)=min{f(x), g(x)}在點(diǎn)x0也連續(xù).證明 已知limf(x)=f(x0), limg(x)=g(x0). x174。x0x174。x0可以驗(yàn)證j(x)=1[f(x)+g(x)+|f(x)g(x)| ], 2y(x)=1[f(x)+g(x)|f(x)g(x)| ]. 2因此 j(x0)=1[f(x0)+g(x0)+|f(x0)g(x0)| ], 2y(x0)=1[f(x0)+g(x0)|f(x0)g(x0)| ]. 2因?yàn)?9 limj(x)=lim1[f(x)+g(x)+|f(x)g(x)| ] x174。x0x174。x02=1[limf(x)+limg(x)+|limf(x)limg(x)| ] x174。x0x174。x0x174。x02x174。x0=1[f(x0)+g(x0)+|f(x0)g(x0)| ]=j(x0), 2所以j(x)在點(diǎn)x0也連續(xù).同理可證明y(x)在點(diǎn)x0也連續(xù). 3. 求下列極限:(1)limx22x+5。 x174。0(2)lim(sin2x)3。x174。4(3)limln(2cos2x)。x174。p (4)limx+11。 x174。0x(5)limx4x。 x174。1x1(6)limsinxsina。 x174。axa(7)lim(x2+xx2x). x174。+165。解 (1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x22x+5是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)x=0有定義, 所以 limx22x+5=f(0)=2