【正文】 . 解: 把W表示成b的函數(shù): (0bd). 由, 得駐點. 由于梁的最大抗彎截面模量一定存在, 而且在(0, d)內部取得。 現(xiàn)在函數(shù)W在(0, d)內只有一個駐點, 所以當時, 抗彎截面模量W最大, 這時. 167。3. 8 函數(shù)圖形的描繪 描繪函數(shù)圖形的一般步驟: (1)確定函數(shù)的定義域, 并求函數(shù)的一階和二階導數(shù)。 (2)求出一階、二階導數(shù)為零的點, 求出一階、二階導數(shù)不存在的點。 (3)列表分析, 確定曲線的單調性和凹凸性。 (4)確定曲線的漸近性。 (5)確定并描出曲線上極值對應的點、拐點、與坐標軸的交點、其它點。 (6)聯(lián)結這些點畫出函數(shù)的圖形. 例1. 畫出函數(shù)y=x 3x 2x+1的圖形. 解: (1)函數(shù)的定義域為(165。, +165。), (2) f 162。(x)=3x22x1=(3x+1)(x1), f 162。162。(x)=6x2=2(3x1). f 162。(x)=0的根為x= 1/3, 1。 f 162。162。(x)=0的根為x= 1/3. (3)列表分析: x(165。, 1/3)1/3(1/3, 1/3)1/3(1/3, 1)1(1, +165。)f 162。(x)+00+f 162。162。(x)0+++f(x)199。↗極大199。↘拐點200。↘極小200。↗ (4)當x 174。+165。時, y 174。+165。 當x 174。165。時, y 174。165。. (5)計算特殊點: f(1/3)=32/27, f(1/3)=16/27, f(1)=0, f(0)=1。 f(1)=0, f(3/2)=5/8. (6)描點聯(lián)線畫出圖形: 例2. 作函數(shù)的圖形. 解: (1) 函數(shù)為偶函數(shù), 定義域為(165。, +165。), 圖形關于y軸對稱. (2), . 令f 162。(x)=0, 得x=0。 令f 162。162。(x)=0, 得x=1和x=1. (3)列表: x(165。, 1)1(1, 0)0(0, 1)1(1, +165。)f 162。(x)＋＋0－－f 162。162。(x)＋0－－0＋y=f(x)↗200。拐點↗199。極大值↘199。拐點↘200。 (4)曲線有水平漸近線y=0. (5)先作出區(qū)間(0, +165。)內的圖形, 然后利用對稱性作出區(qū)間(165。, 0)內的圖形. 例3. 作函數(shù)的圖形. 解: (1)函數(shù)的定義域為(165。, 3)200。(3, +165。). (2), . 令f 162。(x)=0得x=3, 令f 162。162。(x)=0得x=6. (3)列表分析:x(165。, 3)(3, 3)3(3, 6)6(6, +165。)f 162。(x)+0f 162。162。(x)0+f(x)↘199。↗199。4極大↘199。11/3拐點↘200。 (4) x = 3是曲線的鉛直漸近線, y = 1是曲線的水平漸近線. (5)計算特殊點的函數(shù)值: f(0)=1, f(1)=8, f(9)=8, f(15)=11/4. (6)作圖. 167。3. 9 曲 率 一、弧微分 設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內具有連續(xù)導數(shù). 在曲線y=f(x)上取固定點M 0(x 0, y 0)作為度量弧長的基點, 并規(guī)定依x增大的方向作為曲線的正向. 對曲線上任一點M(x, y), 規(guī)定有向弧段的值s（簡稱為弧s）如下: s的絕對值等于這弧段的長度, 當有向弧段的方向與曲線的正向一致時s0, 相反時s0. 顯然, 弧s=是x的函數(shù): s=s(x), 而且s(x)是x的單調增加函數(shù). 下面來求s(x)的導數(shù)及微分. 設x , Dx 為(a, b)內兩個鄰近的點, 它們在曲線y=f(x)上的對應點為M, N, 并設對應于x的增量Dx , 弧s的增量為Ds, 于是 , , 因為==1, 又=y162。, 因此=177。. 由于s=s(x)是單調增加函數(shù), 從而0, =. 于是ds=dx. 這就是弧微分公式. 因為當Dx174。0時, Ds~, Dx又Ds與同號, 所以 .因此 ,這就是弧微分公式. 二、曲率及其計算公式 曲線彎曲程度的直觀描述: 設曲線C是光滑的, 在曲線C上選定一點M 0作為度量弧s 的基點. 設曲線上點M 對應于弧s, 在點M處切線的傾角為a , 曲線上另外一點N對應于弧s+Ds , 在點N處切線的傾角為a+Da . 我們用比值, 即單位弧段上切線轉過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度. 記, 稱為弧段MN的平均曲率. 記, 稱K為曲線C在點M處的曲率. 在=存在的條件下, . 曲率的計算公式: 設曲線的直角坐標方程是y=f(x), 且f(x)具有二階導數(shù)（這時f 162。(x)連續(xù), 從而曲線是光滑的）. 因為tan a=y162。 , 所以 sec 2a da=y162。162。dx, .又知ds=dx, 從而得曲率的計算公式 . 例1. 計算直線y=a x+b上任一點的曲率. 例2. 計算半徑為R的圓上任一點的曲率. 討論: 1. 計算直線y=a x+b上任一點的曲率. 提示: 設直線方程為y=ax+b, 則y162。=a, y162。162。= 0. 于是K=0. 2. 若曲線的參數(shù)方程為x=j(t), y=y(t)給, 那么曲率如何計算？ 提示: . 3. 計算半徑為R的圓上任一點的曲率. 提示: 圓的參數(shù)方程為x=R cos t, y=R sin t . 例1. 計算等雙曲線x y =1在點(1, 1)處的曲率. 解: 由, 得 , . 因此 y162。|x=1=1, y162。162。|x=1=2. 曲線xy =1在點(1, 1)處的曲率為 . 例4 拋物線y=a x 2+b x+c 上哪一點處的曲率最大？ 解: 由y=a x 2+b x+c, 得 y162。=2a x +b , y162。162。=2a , 代入曲率公式, 得 . 顯然, 當2ax+b=0時曲率最大. 曲率最大時, x=, 對應的點為拋物線的頂點. 因此, 拋物線在頂點處的曲率最大, 最大曲率為K=|2a| . 三、曲率圓與曲率半徑 設曲線在點M(x, y)處的曲率為K (K185。0) . 在點M 處的曲線的法線上, 在凹的一側取一點D, 使|DM| =K1=r. 以D 為圓心, r為半徑作圓, 這個圓叫做曲線在點M處的曲率圓, 曲率圓的圓心D叫做曲線在點M處的曲率中心, 曲率圓的半徑 r 叫做曲線在點M處的曲率半徑. 設曲線在點M處的曲率為K(K185。0), 在曲線凹的一側作一個與曲線相切于M且半徑為r=K1的圓, 則這個圓叫做曲線在點M處的曲率圓, 其圓心叫做曲率中心, 其半徑r 叫做曲率半徑. 曲線在點M處的曲率K(K 185。0)與曲線在點M處的曲率半徑 r 有如下關系: r =, K =. 例3 設工件表面的截線為拋物線y= 2. 現(xiàn)在要用砂輪磨削其內表面. 問用直徑多大的砂輪才比較合適？ 解 砂輪的半徑不應大于拋物線頂點處的曲率半徑. y162。= , y162。162。=, y162。|x=0=0, y162。162。|x=0=. 把它們代入曲率公式, 得 =. 拋物線頂點處的曲率半徑為r=K1= . , . 內蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室