【正文】 1)。 2x174。165。xx1)lim(21=1180。2=2. 解 lim(1+1)(21)=lim(1+x174。165。xx2x174。165。xx174。165。x2(11)lim(1+1+1+ +1)。 n174。165。242n1(1n+1=2. 解 lim(1+1+1+ +1=limn174。165。n174。165。24212(12)lim1+2+3+ +(n1)。 n174。165。n(n1)n1+2+3+ +(n1)=1limn1=1. 解 lim=limn174。165。n174。165。2n174。165。n2n2n2(n+1)(n+2)(n+3) (13)lim。 n174。165。5n(n+1)(n+2)(n+3)1 解 lim= (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為 n174。165。55n3最高次項系數(shù)之比).(n+1)(n+2)(n+3)111+21+3=1. 或 lim=lim(1+n174。165。5n174。165。nnn55n (14)lim133)。 x174。11x1x2131+x+x3=lim(1x)(x+2) 解 lim=limx174。11x1x3x174。1(1x)(1+x+x2)x174。1(1x)(1+x+x2)=lix+2=1. x174。11+x+x2. 計算下列極限:32x+2x (1)lim。 x174。2(x2)232(x2)20x+2x=165。. 解 因為lim3==0, 所以limx174。2(x2)2x174。2x+2x2162x (2)lim。 x174。165。2x+12x 解 lim=165。 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). x174。165。2x+1(3)lim(2x3x+1). x174。165。解 lim(2x3x+1)=165。(因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). x174。165。3. 計算下列極限:(1)limx2sin1。 x174。0x解 limx2sin1=0(當x174。0時, x2是無窮小, 而sin1是有界變量). x174。0xx(2)limarctanx. x174。165。x解 limarctanx=lim1arctanx=0(當x174。165。時, 1是無窮小, x174。165。xx174。165。xx而arctan x是有界變量).4. 證明本節(jié)定理3中的(2). 習題151. 計算下列極限:(1)limx2+5x174。2x3。解 limx2+5=22+5x174。2x323=9.(2)x2x3174。x2+1。解 x23()23x174。x+1=()2+1=0.(3)limx22x+1x174。1x21。解 limx22x+1x174。1x21=lim(x1)2x174。1(x1)(x+1)=limx1x174。1x+1=02=0.(4)lim4x32x2+xx174。03x2+2x。解 lim4x32x2+xx174。03x+2x=lim4x22x+1x174。03x+2=12.(5)lim(x+h)2x2h174。0h。222(x+h)2x2x+2hx+hx 解 lim=lim=lim(2x+h)=2x. h174。0h174。0h174。0hh(6)lim(21+1。 x174。165。xx21+lim1=2. 解 lim(21+1)=2limx174。165。x174。165。xx174。165。x2xx22x (7)lim21。 x174。165。2xx111221=lim1= 解 limx. x174。165。2xx1x174。165。22xx2xx。 (8)lim4+2x174。165。x3x12x=0(分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 解 limx+x174。165。x3x11+1x2+x=lim23=0lim或 . x174。165。x43x21x174。165。1xx2 (9)limx26x+8。 x174。4x5x+42(x2)(x4)x=limx2=42=2. 解 lim26x+8=limx174。4x5x+4x174。4(x1)(x4)x174。4x1413(10)lim(1+121)。 x174。165。xx1)lim(21=1180。2=2. 解 lim(1+1)(21)=lim(1+x174。165。xx2x174。165。xx174。165。x2(11)lim(1+1+1+ +1)。 n174。165。242n1(1n+1=2. 解 lim(1+1+1+ +1n=limn174。165。n174。165。24212(12)lim1+2+3+ +(n1)。 2n174。165。n(n1)n1+2+3+ +(n1)=1limn1=1. 解 lim=lim2n174。165。n174。165。2n174。165。n2nn2(n+1)(n+2)(n+3) (13)lim。 n174。165。5n3(n+1)(n+2)(n+3)1 解 lim= (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為 n174。165。55n3最高次項系數(shù)之比).(n+1)(n+2)(n+3)111+21+3=1. 或 lim=lim(1+n174。165。5n174。165。nnn55n3(14)lim13)。 x174。11x1x2131+x+x3=lim(1x)(x+2) 解 lim=limx174。11x1x3x174。1(1x)(1+x+x2)x174。1(1x)(1+x+x2)=lix+2=1. x174。11+x+x2. 計算下列極限:32x+2x (1)lim。 x174。2(x2)232(x2)20x+2x 解 因為lim=165。. ==0, 所以limx174。2(x2)2x174。2x+2x162x (2)lim。 x174。165。2x+12x 解 lim=165。 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). x174。165。2x+1(3)lim(2x3x+1). x174。165。解 lim(2x3x+1)=165。(因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). x174。165。3. 計算下列極限:(1)limx2sin1。 x174。0x解 limx2sin1=0(當x174。0時, x2是無窮小, 而sin1是有界變量). x174。0xx(2)limarctanx. x174。165。x解 limarctanx=lim1arctanx=0(當x174。165。時, 1是無窮小, x174。165。x174。165。xxx而arctan x是有界變量).4. 證明本節(jié)定理3中的(2). 習題 171. 當x174。0時, 2xx2 與x2x3相比, 哪一個是高階無窮小？232xxxx 解 因為lim=lim=0, x174。02xx2x174。02x所以當x174。0時, x2x3是高階無窮小, 即x2x3=o(2xx2). 2. 當x174。1時, 無窮小1x和(1)1x3, (2)1(1x2)是否同階？是否等價？ 23(1x)(1+x+x2)1x 解 (1)因為lim=lim=lim(1+x+x2)=3, x174。11xx174。1x174。11x所以當x174。1時, 1x和1x3是同階的無窮小, 但不是等價無窮小.1(1x2) (2)因為lim=1lim(1+x)=1, x174。11x2x174。1所以當x174。1時, 1x和1(1x2)是同階的無窮小, 而且是等價無窮小. 23. 證明: 當x174。0時, 有:(1) arctan x~x。2x (2)secx1~. 2