【正文】 65。xx1)lim(21=1180。2=2. 解 lim(1+1)(21)=lim(1+x174。165。xx2x174。165。xx174。165。x2(11)lim(1+1+1+ +1)。 n174。165。2421(1n+1=2. 解 lim(1+1+1+ +1n=limn174。165。n174。165。124212(12)lim1+2+3+ +(n1)。 n174。165。n2(n1)n1+2+3+ +(n1)=1limn1=1. 解 lim=limn174。165。n174。165。2n174。165。n2n2n2(n+1)(n+2)(n+3) (13)lim。 n174。165。5n3(n+1)(n+2)(n+3)1 解 lim= (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為 n174。165。55n3最高次項(xiàng)系數(shù)之比).(n+1)(n+2)(n+3)111+21+3=1. 或 lim=lim(1+n174。165。5n174。165。nnn55n3(14)lim133)。 x174。11x1x2131+x+x3=lim(1x)(x+2) 解 lim=limx174。11x1x3x174。1(1x)(1+x+x2)x174。1(1x)(1+x+x2)=lix+2=1. x174。11+x+x2. 計(jì)算下列極限:32x+2x (1)lim。 x174。2(x2)32(x2)20x+2x=165。. 解 因?yàn)閘im==0, 所以limx174。2(x2)x174。2x+2x162x (2)lim。 x174。165。2x+12 解 limx=165。 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). x174。165。2x+1(3)lim(2x3x+1). x174。165。解 lim(2x3x+1)=165。(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). x174。165。3. 計(jì)算下列極限:(1)limx2sin1。 x174。0x解 limx2sin1=0(當(dāng)x174。0時(shí), x2是無(wú)窮小, 而sin1是有界變量). x174。0xx(2)limarctanx. x174。165。x解 limarctanx=lim1arctanx=0(當(dāng)x174。165。時(shí), 1是無(wú)窮小, x174。165。x174。165。xxx而arctan x是有界變量).4. 證明本節(jié)定理3中的(2). 習(xí)題151. 計(jì)算下列極限:2x (1)lim+5。 x174。2x322x+52 解 lim=+5=9. x174。2x3232x (2)23。 x174。x+12()23x3=0. 解 2=x174。x+1()2+12x (3)lim22x+1。 x174。1x12(x1)2x2x+1x1=0=0=lim=lim 解 lim. x174。1x174。1x174。1(x1)(x+1)x+12x1324x2x+x。 (4)limx174。03x2+2x3224x2x+x4x2x+1=1. =lim 解 limx174。03x+2xx174。03x+22(x+h)2x2 (5)lim。 h174。0h222(x+h)2x2x+2hx+hx 解 lim=lim=lim(2x+h)=2x. h174。0h174。0h174。0hh(6)lim(21+1。 x174。165。xx1+lim1=2. 解 lim(21+1)=2limx174。165。x174。165。xx174。165。x2xx22x (7)lim1。 x174。165。2xx111221=lim1= 解 limx. x174。165。2x2x1x174。165。22xx2xx。 (8)lim4+2x174。165。x3x12xx=0(分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 解 lim4+2x174。165。x3x11+12x+x=lim23=0或 lim4. x174。165。x3x21x174。165。124xx2x (9)lim26x+8。 x174。4x5x+42(x2)(x4)x=limx2=42=2. 解 lim26x+8=limx174。4x5x+4x174。4(x1)(x4)x174。4x1413(10)lim(1+121)。 x174。165。xx21)lim(21=1180。2=2. 解 lim(1+1)(21)=lim(1+x174。165。xx2x174。165。xx174。165。x2(11)lim(1+1+1+ +1)。 nn174。165。2421(1n+1=2. 解 lim(1+1+1+ +1n=limn174。165。n174。165。24212(12)lim1+2+3+ +(n1)。 2n174。165。n(n1)n1+2+3+ +(n1)=1limn1=1. 解 lim=limn174。165。n174。165。2n174。165。n2n2n2(n+1)(n+2)(n+3) (13)lim。 n174。165。5n3(n+1)(n+2)(n+3)1 解 lim= (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為 3n174。165。55n最高次項(xiàng)系數(shù)之比).(n+1)(n+2)(n+3)111+21+3=1. 或 lim=lim(1+n174。165。5n174。165。nnn55n3(14)lim133)。 x174。11x1x2131+x+x3=lim(1x)(x+2) 解 lim=limx174。11x1xx174。1(1x)(1+x+x)x174。1(1x)(1+x+x)=lix+22=1. x174。11+x+x2. 計(jì)算下列極限:32x+2x (1)lim。 x174。2(x2)232(x2)20x+2x 解 因?yàn)閘im3=165。. ==0, 所以limx174。2(x2)2x174。2x+2x2162x (2)lim。 x174。165。2x+12 解 limx=165。 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). x174。165。2x+1(3)lim(2x3x+1). x174。165。解 lim(2x3x+1)=165。(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). x174。165。3. 計(jì)算下列極限:(1)limx2sin1。 x174。0x解 limx2sin1=0(當(dāng)x174。0時(shí), x2是無(wú)窮小, 而sin1是有界變量). x174。0xx(2)limarctanx. x174。165。x解 limarctanx=lim1arctanx=0(當(dāng)x174。165。時(shí), 1是無(wú)窮小, x174。165。x174。165。xxx而arctan x是有界變量).4. 證明本節(jié)定理3中的(2). 習(xí)題 171. 當(dāng)x174。0時(shí), 2xx2 與x2x3相比, 哪一個(gè)是高階無(wú)窮小？232 解 因?yàn)閘imxx2=limxx=0, x174。02xxx174。02x所以當(dāng)x174。0時(shí), x2x3是高階無(wú)窮小, 即x2x3=o(2xx2). 2. 當(dāng)x174。1時(shí), 無(wú)窮小1x和(1)1x3, (2)1(1x2)是否同階？是否等價(jià)？ 23(1x)(1+x+x2)1x 解 (1)因?yàn)閘im=lim=lim(1+x+x2)=3, x174。11xx174。1x174。11x所以當(dāng)x174。1時(shí), 1x和1x3是同階的無(wú)窮小, 但不是等價(jià)無(wú)窮小.1(1x2) (2)因?yàn)閘im=1lim(1+x)=1, x174。11x2x174。1所以當(dāng)x174。1時(shí), 1x和1(1x2)是同階的無(wú)窮小, 而且是等價(jià)無(wú)窮小. 23. 證明: 當(dāng)x174。0時(shí), 有:(1) arctan x~x。2 (