【正文】 ?(t)分別表示兩個隨機過程。 因此， R(t1, t2)又稱為自相關函數(shù)。 )t(a)t(a)t,t(R)t,t(B 212121 ??)]t()t([E)t,t(R 2121 ???? ?17 第 3章 隨機過程 ? 平穩(wěn)隨機過程 ? 平穩(wěn)隨機過程的定義 ? 定義： 若一個隨機過程 ?(t)的任意有限 n維分布函數(shù)與時間起點無關，即，對于任意的正整數(shù) n和所有實數(shù) ?，有 則稱該隨機過程是在嚴格意義下的平穩(wěn)隨機過程，簡稱 嚴平穩(wěn)隨機過程 。 )t,t,tx,x,x(f)t,t,tx,x,x(fnnnnnn??????? ????21212121；；18 第 3章 隨機過程 ? 性質(zhì)： 該定義表明，平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時間 t無關： 而二維分布函數(shù)只與時間間隔 ? = t2 – t1有關： ? 數(shù)字特征： )x(f)t,x(f 11111 ?)。x,x(f)t,t。x,x(f ?21221212 ?? ? ? ??? ?? adx)x(fx)t(E 1111?)(Rdxdx)。x,x(fxx)]t()t([E)t,t(R?????????? ???? ??? 2121221112119 第 3章 隨機過程 ? 數(shù)字特征： 可見，（ 1）其均值與 t 無關，為常數(shù) a ； （ 2）自相關函數(shù)只與時間間隔 ? 有關。 把同時滿足（ 1）和（ 2）的過程定義為 廣義平穩(wěn)隨機過程 。顯然，嚴平穩(wěn)隨機過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。 在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。 研究平穩(wěn)隨機過程有著很大的實際意義。 ? ? ? ??? ?? adx)x(fx)t(E 1111?)(Rdxdx)。x,x(fxx)]t()t([E)t,t(R?????????? ???? ??? 2121221112120 第 3章 隨機過程 ? 各態(tài)歷經(jīng)性 ? 問題的提出：隨機過程的數(shù)字特征（均值、相關函數(shù)）是對隨機過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但在實際中常常很難測得大量的樣本， ? 問題：能否從一次試驗而得到的一個樣本函數(shù) x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢 ? ? 回答：平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個有趣而又非常有用的特性，稱為“ 各態(tài)歷經(jīng)性 ”（又稱“ 遍歷性 ”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計平均）完全可由隨機過程中的任一實現(xiàn)的時間平均值來代替。 ? 討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。 21 第 3章 隨機過程 ? 各態(tài)歷經(jīng)性條件 設： x(t)是平穩(wěn)過程 ?(t)的任意一次實現(xiàn)（樣本）， 則其時間均值和時間相關函數(shù)分別定義為： 如果平穩(wěn)過程使下式成立 則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。 ??????????????222211/T/TT/T/TTdt)t(x)t(xTlim)t(x)t(x)(Rdt)t(xTlim)t(xa????????)(R)(Raa??22 第 3章 隨機過程 ? “各態(tài)歷經(jīng)”的含義是：隨機過程中的任一次實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計平均（均值或自相關函數(shù)等）時，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實現(xiàn)的“時間平均”值代替過程的“統(tǒng)計平均”值即可，從而使測量和計算的問題大為簡化。 ? 具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。 23 第 3章 隨機過程 ? [例 31] 設一個隨機相位的正弦波為 其中， A和 ?c均為常數(shù)； ?是在 (0, 2π)內(nèi)均勻分布的隨機變量。試討論 ?(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。 【解】 (1)先求 ?(t)的統(tǒng)計平均值： 數(shù)學期望 )tc o s (A)t( c ??? ??? ??? ? ????? 20 2 1 d)tc os (A)]t([E)t(a c? ?? ? ?????? 202 d)s i nts i nc ost(c osA cc02 20 20 ??? ? ? ]ds i nts i ndc ost[c osA cc ? ? ???????24 第 3章 隨機過程 自相關函數(shù) 令 t2 – t1 = ?，得到 可見， ?(t)的數(shù)學期望為常數(shù)，而自相關函數(shù)與 t 無關，只與時間間隔 ? 有關，所以 ?(t)是廣義平穩(wěn)過程。 0221222221222012212212122212121???????????????????)tt(c o sAd])tt(c o s [A)tt(c o sA]})tt(c o s [)tt({ c o sEA)]tc o s (A)tc o s (A[E)]t()t([E)t,t(Rccccccc????????????????)(Rc osA)t,t(R c ??? ?? 222125 第 3章 隨機過程 (2) 求 ?(t)的時間平均值 比較統(tǒng)計平均與時間平均，有 因此，隨機相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。 ???? ??? 2 2 01 T T cT dt)tc os (ATl i ma ?????? ????? 2 21 T T ccT dt])t(c os [A)tc os (ATlim)(R ??????? ?? ??? ???? 2 2 2 22 222 T T T T cccT }dt)tc os (dtc os{TAl i m ???????? cc o sA22?)(R)(R,aa ?? ??26 第 3章 隨機過程 ? 平穩(wěn)過程的自相關函數(shù) ? 平穩(wěn)過程自相關函數(shù)的定義：同前 ? 平穩(wěn)過程自相關函數(shù)的性質(zhì) ? — ?(t)的平均功率 ? — ?的偶函數(shù) ? — R(?)的上界 即自相關函數(shù) R(?)在 ? = 0有最大值。 ? — ?(t)的直流功率 ? 表示平穩(wěn)過程 ?(t)的交流功率。當均值為 0時，有 R(0) = ?2 。 )]t([E)(R 20 ??)(R)(R ?? ??)(R)(R 0??22 a??? )]t([E)(R ?20 ???? )(R)(R27 第 3章 隨機過程 ? 平穩(wěn)過程的功率譜密度 ? 定義： ? 對于任意的確定功率信號 f (t)，功率譜密度定義為 式中， FT ( f )是 f (t)的截短函數(shù) fT (t) 所對應的頻譜函數(shù) T)f(Fmil)f(P TTf2??? t02T2T? ()ft()T28 第 3章 隨機過程 ? 對于平穩(wěn)隨機過程 ? (t) ，可以把 f (t)當作是 ?(t)的一個樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計平均，故 ? (t)的功率譜密度可以定義為 ? ? T )f(FEmil)f(PE)f(P TTf2?????29 第 3章 隨機過程 ? 功率譜密度的計算 ? 維納 辛欽關系 非周期的功率型確知信號的自相關函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換。 這種關系對平穩(wěn)隨機過程同樣成立，即有 簡記為 以上關系稱為 維納 辛欽 關系。 在平穩(wěn)隨機過程的理論和應用中是一個非常重要的工具， 它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關系式 。 ????????????????????????de)(P)(Rde)(R)(Pjj21)f(P)(R ?? ?30 第 3章 隨機過程 ? 在維納 辛欽關系的基礎上，可以得到以下結(jié)論： ? 對功率譜密度進行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率： 上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計算法。 ? 各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。即，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個過程的的譜特性。 【證】因為各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關函數(shù)等于任一樣本的自相關函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換： 即 式中 df)f(P)(R ? ???? ?0)(R)(R ?? ?])(R[F)](R[F ?? ?)f(P)f(P f??)f(P)(R ?? ? ? ? )f(P f??R31 第 3章