曲線積分與曲面積分期末復(fù)習(xí)題高等數(shù)學(xué)下冊(cè)(上海電機(jī)學(xué)院)-在線瀏覽
2025-03-03 12:08本頁(yè)面
【正文】 。 2 第十章 曲線積分與曲面積分參考答案三、計(jì)算題 1．L242。解：記線段OA方程y=x,0163。線段OB方程y=0,0163。1。x=cosqp,0163。 ，圓弧AB方程237。y=sinq則原式＝OA242。＋OB242。4edq＋242。x163。x163。 解：利用格林公式，P= ，Q=y[xy+ln(x+，則，182。y182。x故原式＝242。(D182。P)dxdy=242。y2dxdy=182。yD22242。sinx ydy＝21p34＃ sinxdx=242。L242。236。y=Rsint238。p [R2sin2t(Rsint)+R2cos2t(Rcost)]dt4322＝R ＃ [(1cost)(sint)+(1sint)cost]dt242。解：曲面S的方程為z=x+y,(x,y)206。1}。dq242。x半圓周，方向?yàn)閺狞c(diǎn)A(2a,0)沿L到原點(diǎn)O。P182。y182。xxOA174。(esinymy)dx+(excosym)dy mpa2＝m242。dxdy= 2D而xx(esinymy)dx+(ecosym)dy＝242。2aOA174。(eL2xsinymydx)+e(222xmpa2 ＃ cyosmdy＝)222226．(yz)dx+(zx)dy+(xy)dz，其中L為球面x+y+z=1在第一L242。解：曲線由三段圓弧組成，設(shè)在YOZ平面 237。z=sint238。32AB由對(duì)稱性即得242。(y2z2)dx+(z2x2)dy+(x2y2)dz=4AB＃7．242。(x+1)dydz+(y+1)dzdx+(z+1)dxdy，其中S為平面x+y+z=1,x=0,y=0,Sz=0所圍立體的表面的外側(cè)。242。解：利用高斯公式，所求積分等于11=(1+2+3)dxdydz6209。19. 計(jì)算I=242。xydydz+yzdzdx+xzdxdy，其中S為x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所圍立s體的表面外側(cè)解：設(shè)V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所圍的立體由Gass公式得:I=242。242。dx242。(x+y+z)dz 000=1 ＃ 8 5 第十章 曲線積分與曲面積分參考答案10．計(jì)算I=242。Gx3dx+3zy2dyx2ydz 242。t3dt=1087 ＃ 4199。AMO199。(exsiny2y)dx+(excosy2)dy=0 OA從而242。199。AMO199。OA=AMOA又由Green公式得:AMOA(exsiny2y)dx+(ecosy2)dy=xx2+y2163。242。2p32p2p于是: z3dx+x3dy+y3dz=242。cos4tdt =p 00L4另證：由斯托克斯公式得3Lzdx+x3dy+y3dz=242。(3y20)dydz+(3z20)dxdz+(3x20)dxdy229。:z=2,x2+y2163。242。242。242。122p113. 設(shè)曲面S為平面x+y+z=1在第一卦限部分，計(jì)算曲面S的面積I解：S在xoy平面的投影區(qū)域?yàn)椋篋xy=(x,y)0163。1x,0163。1 6 {}第十章 曲線積分與曲面積分參考答案I=242。dS=242。dxdy＝242。SDxy11x003dy＝242。(xy)dx+(x+y)dyx2+y2L其中L是沿著圓(x1)+(y1)=1 從點(diǎn)A(0,1)到點(diǎn)B(2, 1)的上半單位圓弧解：設(shè)P(x,y)=xyx+y22， Q(x,y)=x+yx+y22182。Qy2x22xy==當(dāng)x+y185。y182。(xy)dx+(x+y)dyx+y22L=242。(xy)dx+(x+y)dyx+y22 =242。(x+4xyl)dx+(6xl1y22y)dy在XoY平面上與路徑無(wú)關(guān)。解：由已知，P=x+4xy,Q=6x由條件得 2ll12y2y； 182。Ql1l2 , 即 4lxy=6(l1)x,l=3, =182。x(3,1)(0,0)230。x+4xydx+6xy2ydy=xy+2xy247。242。3248。242。3I={22}Dxy242。4x22y＝242。202p02rdr ＝4pln2 ＃ 4r2222217. 計(jì)算I=242。yzdydz+xzdzdx+(x+y+z
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