【正文】 1x2(1x1)(1x2)所以函數(shù)y=x在區(qū)間(165。(0, +165。) 11. 設下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(l, l)上的, 證明:(1)兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù), 兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)。(2)y=3x2x3。 1+x(4)y=x(x1)(x+1)。xxa+a (6)y=. 2解 (1)因為f(x)=(x)2[1(x)2]=x2(1x2)=f(x), 所以f(x)是偶函數(shù).(2)由f(x)=3(x)2(x)3=3x2+x3可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).1(x)21x2==f(x), 所以f(x)是偶函數(shù). (3)因為f(x)=221+x1+x2(4)因為f(x)=(x)(x1)(x+1)=x(x+1)(x1)=f(x), 所以f(x)是奇函數(shù).(5)由f(x)=sin(x)cos(x)+1=sin xcos x+1可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).(x)(x)xxa+aa+a (6)因為f(x)===f(x), 所以f(x)是偶函數(shù). 2213. 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù), 指出其周期:(1)y=cos(x2)。解 是周期函數(shù), 周期為l=p. 2(3)y=1+sin px。解 不是周期函數(shù).(5)y=sin2x.解 是周期函數(shù), 周期為l=p.14. 求下列函數(shù)的反函數(shù):(1)y=x+1錯誤！未指定書簽。解 由y=x+1得x=y31, 所以y=x+1的反函數(shù)為y=x31.(2)y=1x錯誤！未指定書簽。0)。y 解 由y=2sin 3x得x=1arcsin, 所以y=2sin3x的反函數(shù)為y=1arcsinx. 3232(5) y=1+ln(x+2)。M, 即M163。M. 這就證明了f(x)在X上有下界M和上界M.再證充分性. 設函數(shù)f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1163。 K2 . 取M=max{|K1|, |K2|}, 則 M163。f(x)163。M ,即 |f(x)|163。 63解 y=sin2x, y1=sin2p=(12=1,y2=sin2p=()2=3. 324624(2) y=sin u, u=2x, x1=p,x2=p。解 y=+x2, y1=+12=, y2=+22=.(4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1。解 由0163。1得|x|163。解 由0163。1得2np163。(2n+1)p (n=0, 177。2 ), 所以函數(shù)f(sin x)的定義域為[2np, (2n+1)p] (n=0, 177。2 ) .(3) f(x+a)(aamp。0)。x+a163。x163。x+a163。xa163。1時, a163。1a。1時函數(shù)的定義域為[a, 1a], 當a1時函數(shù)無意義. 22236。 18. 設f(x)=237。, 求f[g(x)]和g[f(x)], 并239。1 |x|1222作出這兩個函數(shù)的圖形.236。1 x0239。解 f[g(x)]=237。0 x=0.239。238。236。e |x|1239。 1, 即g[f(x)]=237。e0 | x |=1239。 1238。19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40176。(2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù)。x163。1600時, p=75.當100x1600時,p=90(x100)180。90 0163。100239。75 x179。30x 0163。100236。 (2)P=(p60)x= 100x1600.239。1600238。180。 21=0. 解 當n174。時, xn=1174。165。 n解 當n174。時, xn=(1)n1174。165。 n1)=2. 解 當n174。時, xn=2+1174。165。 n+1解 當n174。時, xn=n1=12174。165。165。165。165。1. e 0, 要使|x0|e , 只要1e, 也就是n1. 取 |xn0|= nnnneN=1, e則nN, 有|xn0|e .當e =, N=[1]=1000. 3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明:(1)lim1=0。165。165。 n174。2n+123n+13|=11e 分析 要使|, 只須1e, 即n1. 2n+122(2n+1)4n4e4n證明 因為e0, $N=[1, 當nN時, 有|3n+13|e, 所以lim3n+1=3. n174。2n+122n+124e(3)limn174。n2+a2=1。165。165。165。165。165。N, 當nN時, 有|una|e, 從而 n174。||un||a||163。165。165。165。165。165。Z, 有|xn|163。N, 當nN時, 有|yn|e. 從而當nN時, 有 n174。M |xnyn0|=|xnyn|163。165。a(k174。), x2k 174。165。a(n174。).證明 因為x2k1174。165。a(k 174。), 所以e0, $K1, 當2k12K11時, 有| x2k1a|e 。a (n174。). 習題131. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:(1)lim(3x1)=8。3分析 因為|(3x1)8|=|3x9|=3|x3|,所以要使|(3x1)8|e , 只須|x3|1e. 3證明 因為e0, $d=1e, 當0|x3|d時, 有 3|(3x1)8|e ,所以lim(3x1)=8. x174。 x174。2152x4=4。2x+2分析 因為22x4x+4x+4=|x+2|=|x(2)|, (4)=x+2x+22所以要使x4(4)e, 只須|x(2)|e. x+2證明 因為e 0, $d=e, 當0|x(2)|d時, 有2x4(4)e, x+22x4=4. 所以limx174。2分析 因為3 14x2=|12x2|=2|x(1|, 2x+123所以要使14x2e, 只須|x(1)|1e. 2x+122證明 因為e 0, $d=1e, 當0|x(1|d時, 有 22314x2e, 2x+1314x=2. 所以lim12x+1x174。 (1)lim1+x=x174。2x32分析 因為31=1+x3x3=1, 1+x2x22x2|x|31+x1e, 只須1e, 即|x|1. 所以要使2x22|x|3e證明 因為e 0, $X=1, 當|x|X時, 有 31+x1e, 2x3231. 所以lim1+x=x174。2x32(2)limsinx=0. x174。x分析 因為x|1x0=|sin sin. 163。+165。2時, y=x2174。lt。lt。2時, |x2|174。165。1, 問X等于多少, 使當|x|X時, |y1|? x+32 解 要使x211=24, 只要|x|43=, 故X=. +3x+35. 證明函數(shù)f(x)=|x|當x174。0|x| 6. 求f(x)=x, j(x)=當x174。0時的極xx限是否存在.證明 因為limf(x)=limx=lim1=1, x174。0xx174。0x174。0limf(x)=lim+f(x), x174。0所以極限limf(x)存在. x174。0x174。0x|x|x=1, limj(x)=li=lix174。0+xx174。limj(x), lim+x174。0所以極限limj(x)不存在. x174。+165。165。165。165。+165