【正文】 =x在區(qū)間(165。(0, +165。) 11. 設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對(duì)稱(chēng)區(qū)間(l, l)上的, 證明:(1)兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù), 兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)。(2)y=3x2x3。 1+x (4)y=x(x1)(x+1)。xxa+a (6)y=. 2解 (1)因?yàn)閒(x)=(x)2[1(x)2]=x2(1x2)=f(x), 所以f(x)是偶函數(shù).(2)由f(x)=3(x)2(x)3=3x2+x3可見(jiàn)f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).1(x)21x2==f(x), 所以f(x)是偶函數(shù). (3)因?yàn)閒(x)=1+x1+x(4)因?yàn)閒(x)=(x)(x1)(x+1)=x(x+1)(x1)=f(x), 所以f(x)是奇函數(shù).(5)由f(x)=sin(x)cos(x)+1=sin xcos x+1可見(jiàn)f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).(x)(x)xxa+aa+a (6)因?yàn)閒(x)===f(x), 所以f(x)是偶函數(shù). 2213. 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對(duì)于周期函數(shù), 指出其周期:(1)y=cos(x2)。解 是周期函數(shù), 周期為l=p. 2(3)y=1+sin px。解 不是周期函數(shù).(5)y=sin2x.解 是周期函數(shù), 周期為l=p.14. 求下列函數(shù)的反函數(shù):(1)y=x+1。 1+x1y 解 由y=1x得x=, 所以y=1x的反函數(shù)為y=1x. 1+y1+x1+x1+x(3)y=ax+b(adbc185。 cx+ddy+b 解 由y=ax+b得x=, 所以y=ax+b的反函數(shù)為y=dx+b. cyacx+dcx+dcxa(4) y=2sin3x。解 由y=1+ln(x+2)得x=ey12, 所以y=1+ln(x+2)的反函數(shù)為y=ex12.x (6)y=2. x2+1xxy22 解 由y=x得x=log2, 所以y=x的反函數(shù)為y=log2x. 1y1x2+12+115. 設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集X上有定義, 試證: 函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.證明 先證必要性. 設(shè)函數(shù)f(x)在X上有界, 則存在正數(shù)M, 使|f(x)|163。f(x)163。f(x)163。 K1163。 K2163。M.這就證明了f(x)在X上有界.16. 在下列各題中, 求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù), 并求這函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于給定自變量值x1和x2的函數(shù)值:(1) y=u2, u=sin x, x1=p, x2=p。 84解 y=sin2x, y1=sin(2p)=sinp=,y2=sin(2p)=sinp=1. 84242(3)y=, u=1+x2, x1=1, x2= 2。解 y=ex, y1=e0=1, y2=e1=e.(5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=1.解 y=e2x, y1=e21=e2, y2=e2(1)=e2. 17. 設(shè)f(x)的定義域D=[0, 1], 求下列各函數(shù)的定義域:(1) f(x2)。x2163。1, 所以函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)閇1, 1].(2) f(sinx)。sin x163。x163。1, 177。1, 177。gt。解 由0163。1得a163。1a, 所以函數(shù)f(x+a)的定義域?yàn)閇a, 1a].(4) f(x+a)+f(xa)(a0).解 由0163。1且0163。1得: 當(dāng)0a163。x163。 當(dāng)a1時(shí), 無(wú)解. 因22此當(dāng)0a163。1 |x|1239。0 |x|=1, g(x)=ex , 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出這兩個(gè)函數(shù)的239。1 |x|1222圖形.236。1 x0239。解 f[g(x)]=237。0 x=0.239。238。236。e |x|1239。 1, 即g[f(x)]=237。e0 | x |=1239。 1238。19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40176。(2)將廠方所獲的利潤(rùn)P表示成訂購(gòu)量x的函數(shù)。x163。1600時(shí), p=75.當(dāng)100x1600時(shí),p=90(x100)180。90 0163。100239。75 x179。30x 0163。100236。 (2)P=(p60)x= 100x1600.239。1600238。180。 21=0. 解 當(dāng)n174。時(shí), xn=1174。165。 n解 當(dāng)n174。時(shí), xn=(1)n1174。165。 n21)=2. 解 當(dāng)n174。時(shí), xn=2+1174。165。 n+1解 當(dāng)n174。時(shí), xn=n1=12174。165。165。165。165。1. e 0, 要使|x0|e , 只要1e, 也就是n1. 取 |xn0|= nnnnN=1], 則nN, 有|xn0|e .當(dāng)e =, N=[1]=1000. e3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明:(1)lim1=0。165。165。 n174。2n+123n+13|=11e 分析 要使|, 只須1e, 即n1. 2n+122(2n+1)4n44n證明 因?yàn)閑0, $N=1, 當(dāng)nN時(shí), 有|3n+13|e, 所以lim3n+1=3. n174。2n+122n+124 (3)limn174。2+a2=1。165。165。165。165。165。N, 當(dāng)nN時(shí), 有|una|e, 從而 n174。||un||a||163。165。165。165。165。165。Z, 有|xn|163。N, 當(dāng)nN時(shí), 有|yn|e. 從而當(dāng)nN時(shí), 有 n174。M|xnyn0|=|xnyn|163。165。a(k174。), x2k 174。165。a(n174。).證明 因?yàn)閤2k1174。165。a(k 174。), 所以e0,$K1, 當(dāng)2k12K11時(shí), 有| x2k1a|e 。a (n174。). 習(xí)題131. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:(1)lim(3x1)=8。3分析 因?yàn)閨(3x1)8|=|3x9|=3|x3|,所以要使|(3x1)8|e , 只須|x3|1e. 3證明 因?yàn)閑0, $d=1e, 當(dāng)0|x3|d時(shí), 有 3|(3x1)8|e ,所以lim(3x1)=8. x174。 x174。2152 (3)limx4=4。2x+2分析 因?yàn)?2x4x+4x+4=|x+2|=|x(2)|, (4)= x+2x+22x4(4)e, 只須|x(2)|e. 所以要使x+2證明 因?yàn)閑 0, $d=e, 當(dāng)0|x(2)|d時(shí), 有2x4(4)e, x+22x4=4. 所以limx174。 分析 因?yàn)?14x 2=|12x2|=2|x(1|, 2x+12314x所以要使2e, 只須|x(1)|1e. 2x+122證明 因?yàn)閑 0, $d=1e, 當(dāng)0|x(1|d時(shí), 有 223 14x2e, 2x+1314x=2. 所以limx174。 (1)lim1+x=x174。2x2分析 因?yàn)?1=1+x3x3=1, 1+x2x322x32|x|331+x1e, 只須1e, 即|x|1. 所以要使2x22|x|3 證明 因?yàn)閑 0, $X=1, 當(dāng)|x|X時(shí), 有 31+x 1e, 322x31. 所以lim1+x=x174。2x32(2)limsinx=0. x174。 分析 因?yàn)閤|1x0=|sin sin. 163。+165。2時(shí), y=x2174。lt。lt。2時(shí), |x2|174。165。1, 問(wèn)X等于多少, 使當(dāng)|x|X時(shí), |y1|? x+32x 解 要使211=24, 只要|x|43=, 故X=. +3x+35. 證明函數(shù)f(x)=|x|當(dāng)x174。0|x| 6. 求f(x)=x, j(x)=當(dāng)x174。0時(shí)的極xx限是否存在.證明 因?yàn)閘imf(x)=limx=lim1=1, x174。0xx174。0x174。0limf(x)=lim+f(x), x174。0所以極限limf(x)存在. x174。0x174。0x|x|x=1, limj(x)=li=lix174。0+xx174。limj(x), lim+x174。0所以極限li