【正文】 x,所以 Fx為奇函數(shù), 即兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù) 2設(shè) Fxfx?gx. 如果 fx和 gx都是偶函數(shù), 則 F?xf?x?g?xfx?gxFx,所以 Fx為偶函數(shù), 即兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù) 如果 fx和 gx都是奇函數(shù), 則 F?xf?x?g?x[?fx][?gx]fx?gxFx,所以 Fx為偶函數(shù), 即兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù) 如果 fx是偶函數(shù), 而 gx是奇函數(shù), 則 F?xf?x?g?xfx[?gx]?fx?gx?Fx,所以 Fx為奇函數(shù), 即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù) 12. 下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù), 哪些是奇函數(shù), 哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)? 2 21yx 1?x 。 21?x3 y 。 5ysin x?cos x+1。 2ycos 4x。 4yx cos x。1?x 2 y 。cx+d 4 y2sin3x。x2 6 y x2 +13 33 3 解 1由 y x+1得xy ?1, 所以 y x+1的反函數(shù)為yx ?11? y1?x 1?x 1?x 2由 y 得 x , 所以 y 的反函數(shù)為 y 1+x 1+ y 1+x 1+x?dy+bax+b ax+b ?dx+b 3由 y 得 x , 所以 y 的反函數(shù)為 y cy?acx+d cx+d cx?ay1 1 x 4由 y2sin 3x 得 x arcsin, 所以 y2sin 3x的反函數(shù)為 y arcsin 3 2 3 2y?1 x?1 5由y1+lnx+2得xe ?2, 所以y1+lnx+2的反函數(shù)為ye ?2x xy2 2 x 6由 y 得 xlog , 所以 y 的反函數(shù)為 ylog2 2x x2 +1 1? y 2 +1 1? x 15. 設(shè)函數(shù) fx在數(shù)集 X 上有定義, 試證: 函數(shù) fx在 X 上有界的充分必要條件是它在 X上既有上界又有下界 證明 先證必要性. 設(shè)函數(shù) fx在 X 上有界, 則存在正數(shù) M, 使|fx|≤M, 即?M≤fx≤M. 這這就證明了 fx在 X 上有下界?M 和上界 M 再證充分性. 設(shè)函數(shù)fx在X上有下界K 和上界K , 即K ≤fx≤ K取M|K |, |K |, 1 2 1 2 1 2則M≤ K ≤fx≤ K ≤M ,1 2即 |fx|≤M這就證明了 fx在 X 上有界 16. 在下列各題中, 求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù), 并求這函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值x 和x 的函數(shù)值:1 22 π π 1 yu , usin x, x , x 。 1 28, 42 3 y u, u1+x , x 1, x 2。 1 22 x 5 yu , ue , x 1, x ?11 22 π 1 1 π 3 32 2 2 2 解 1ysin x, y sin , y sin 1 26 2 4 3 2 4π π 2 π π 2ysin2x, y sin2? sin , y sin2? sin 11 28 4 2 4 22 2 2 3 y, 1+ x y 1+1 2 , y 1+2 5 1 22 2 2x 0 1 4 y e , y e 1 , y e e1 22x 2?1 2 2??1 ?2 5ye , y e e , y e e1 2 17. 設(shè) fx的定義域 D[0, 1], 求下列各函數(shù)的定義域:2 1 fx 。 3 fx+aa0。1, 177。1, 177。 當(dāng) a 時(shí), 無解. 因此當(dāng) 0a≤ 時(shí)2 2 21函數(shù)的定義域?yàn)閇a, 1?a], 當(dāng) a 時(shí)函數(shù)無意義21 |x|1?x18. 設(shè) f x 0 |x|1, gxe , 求f[gx]和g[fx], 并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形1 |x|1x1 |e |1 1 x0x解 f [gx] 0 |e |1 , 即 f [gx] 0 x0x1 |e |1 ?1 x0?1e |x| 1 e |x| 1f x 0 g[ f x ]e e |x|1, 即 g[ f x ] 1 |x|11 ?1?e |x|1 e |x|119. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角?40176。 2將廠方所獲的利潤 P表示成訂購量 x 的函數(shù)。nn21n 2 x ?1 。 n2nn ?1 4 x 。 2n → ∞n3n +1 3lim 2 。1 1 2kK , ?當(dāng) 2k+12K +1 時(shí), 有| x ?a | ε 2 2 2k+1取N 2K , 2K +1, 只要nN, 就有|x ?a | ε因此x →a n →∞1 2 n n 習(xí)題 1 ?31. 根據(jù) 函數(shù)極限的定義證明: 1 lim3x ?1 8。 x →22x ?4 3 lim ?4。lim 3x → ∞22xsin x 2 lim 0x → +∞x33 3 31 + x 1 1 + xx 1 1 + x 1 1 證明 1 分析 , 要使 ε , 只須 ε , 即3 3 3 3 32 22x 2x 2|x| 2x 2|x|1|x| 32 ε331 1 + x 11 + x 1 證明 因?yàn)棣?0,X , 當(dāng)|x| X 時(shí), 有 ε , 所以 lim 3 33x → ∞2 22x 2x2 εsin x |sin x| 1 sin x 1 1 2 分析 ?0 ≤ , 要使 ?0 ε , 只須 ε , 即 x 2εx x x x x1sin x sin x 證明 因?yàn)棣?0,X , 當(dāng) x X 時(shí), 有 ?0 ε , 所以 lim 02x → +∞εx x2 3. 當(dāng)x →2 時(shí), y x →4. 問δ 等于多少, 使當(dāng)|x ?2| δ 時(shí), |y ?4|0. 001 ? 2 解 由于x →2, |x ?2| →0, 不妨設(shè)|x ?2| 1, 即 1 x 3. 要使|x ?4| |x +2||x ?2| 5|x ?2| 0. 001, 只要2|x ?2| , 取 δ 0. 0002, 則當(dāng) 0 |x ?2| δ 時(shí), 就有|x ?4| 0. 001 52x ?1 4. 當(dāng) x →∞ 時(shí), y →1, 問 X 等于多少, 使當(dāng)|x|X 時(shí), |y ?1|x +32x ?1 44 解 要使 ?1 , 只 , |x| ?3 397 X 3972 2x +3 x +3 5. 證明 函數(shù) fx |x| 當(dāng) x →0 時(shí)極 限為零x |x| 6. 求 f x , ?x 當(dāng) x →0 時(shí)的 左?右極限, 并說明它們在 x →0 時(shí)的 極限是否存在x x 證明 因?yàn)閤lim f x lim lim 1 1,x →0 x →0 x x →0xlim f x lim lim 1 1,+ + +x →0 x →0 x x →0lim f x lim f x,? +x →0 x →0所以極限 lim f x 存在x →0 因?yàn)?|x| ?xlim ?x lim lim ?1,x →0 x →0 x →0x x|x| xlim ?x lim lim 1,+ + +x →0 x →0 x →0x xlim ?x ≠ lim ?x,? +x →0 x →0所以極限 lim ?x 不存在x →0 7. 證明: 若 x →+ ∞ 及 x →?∞ 時(shí), 函數(shù) fx 的極限都存在且都等于 A, 則 lim f x Ax → ∞ 證明 因?yàn)?lim f x A , lim f x A , 所以? ε0,x → ?∞ x → +∞?X 0, 使當(dāng)x ?X 時(shí), 有|fx ?A| ε 。1 0 1 0? δ 0, 使當(dāng)x xx + δ 時(shí), 有| fx ?A| ε 2 0 0 2取 δ min δ , δ , 則當(dāng)0|x ?x | δ 時(shí), 有xδ xx 及x xx + δ , 從而有 1 2 0 0 1 0 0 0 2| fx ?A| ε ,即fx →Ax →x 0 9. 試給 出 x →∞ 時(shí)函 數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以 證明 解 x →∞ 時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理 : 如果 fx 當(dāng) x→∞ 時(shí)的極限存在 , 則存在 X0 及M 0 , 使當(dāng)|x|X 時(shí), |fx| M證明 設(shè) fx →Ax →∞ , 則對于 ε 1 , ?X0 , 當(dāng)|x| X 時(shí), 有|fx ?A| ε 1所以