【正文】 ???521 2111a aA 其主子式為 a11?1 2111 aa a ?? )45(521 2111 ????? aaa a 因為 f 為正主二次型 所以必有 1?a2?0 且 ?a(5a?4)?0 解之得054 ??? a 32? 判別下列二次型的正定性 ? (1) f??2x12?6x22?4x32?2x1x2?2x1x3 解 二次型的矩陣為 ????????????401 061112A 因為 0211 ???a ? 01161 12 ???? ? 038|| ???A ? 所以 f為負(fù)定 ? (2) f?x12?3x22?9x32?19x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4 解 二 次型的矩陣為?????????????????19631690230311211A 因為 0111 ??a ? 0431 11 ??? ? , 06902 031 211 ??? ? , 024??A 所以 f為正定 ? 33 證明對稱陣 A為正定的充分必要條件是 存在可逆矩陣 U 使 A?U TU 即 A與單位陣 E合同 87 證明 因為對稱陣 A為正定的 所以存在正交矩陣 P使 PTAP?diag( 1 2 ? ? ? n)? 即 A?P PT 其中 1 2 ? ? ? n均為正數(shù) 令 ), , ,d i a g ( 211 n??? ????? 則 ? 1 1 A?P 1 1TPT 再令 U? 1TPT 則 U 可逆 且 A?UTU。 69 解 3)1(201 335212|| ?????? ?????? ????? EA 故 A的特征值為 ??1(三重 )? 對于特征值 ??1 由 ?????????????????? ????000 110101101 325213 ~EA 得方程 (A?E)x?0 的基礎(chǔ)解系 p1?(1 1 ?1)T 向量 p1就是對應(yīng)于特征值??1的特征值向量 . (2) ????????633 312321 。 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 第五章 相似矩陣及二次型 1? 試用施密特法把下列向量組正交化 ? (1) ?????????931 421111) , ,(321 aaa? 解 根據(jù)施密特正交化方法 ??????????11111 ab? ????????????101],[],[111 2122 bbbabab ? ?????????????12131],[],[],[],[222 32111 3133 bbbabbbbabab (2)??????????????011101110111) , ,( 321 aaa 解 根據(jù)施密特正交化方法 ?????????????110111 ab ??????????????123131],[],[1112122 bbbabab ???????????????433151],[],[],[],[222321113133 bbbabbbbabab 2? 下列矩陣是不是正交陣 : 68 (1)?????????????????121312112131211。 解 此矩陣的第一個行向量非單位向量 , 故不是 正交陣 ? (2)????????????????????979494949198949891? 解 該方陣每一個行向量均是單位向量 ? 且兩兩正交 ? 故為正交陣 ? 3 設(shè) x 為 n 維列向量 xTx?1 令 H?E?2xxT 證明 H 是對稱的正交陣 證明 因為 HT?(E?2xxT)T?E?2(xxT)T?E?2(xxT)T ?E?2(xT)TxT?E?2xxT 所以 H是對稱矩陣 因為 HTH?HH?(E?2xxT)(E?2xxT) ?E?2xxT?2xxT?(2xxT)(2xxT) ?E?4xxT?4x(xTx)xT ?E?4xxT?4xxT ?E 所以 H是正交矩陣 4? 設(shè) A與 B都是 n階正交陣 ? 證明 AB也是正交陣 ? 證明 因為 A B是 n階正交陣 ? 故 A?1?AT B?1?BT (AB)T(AB)?BTATAB?B?1A?1AB?E 故 AB也是正交陣 ? 5? 求下列矩陣的特征值和特征向量 : (1) ?????????? ??201 335212 。 解 )9)(1(633 312321|| ????????? ??????? EA 故 A的特征值為 1?0 2??1 3?9? 對于特征值 1?0? 由 ?????????????????000 110321633 312321 ~A 得方程 Ax?0 的基礎(chǔ)解系 p1?(?1 ?1 1)T 向量 p1是對應(yīng)于特征值 1?0的特征值向量 .