【正文】 ??????????0000210010101001 1110011110100011~rA 所以與方程組 III 同解的方程組為 ?????????4342412xx xxxx 取 x4?1 得 (x1 x2 x3)T?(?1 1 2)T 方程組 III的基礎(chǔ)解系為 ?(?1 1 2 1)T 因此 I 與 II 的公共解為 x?c(?1 1 2 1)T c?R 26 設(shè) n 階矩陣 A 滿足 A2?A E 為 n 階單 位矩陣 , 證明 R(A)?R(A?E)?n 證明 因為 A(A?E)?A2?A?A?A?0 所以 R(A)?R(A?E)?n 又 R(A?E)?R(E?A) 可知 R(A)?R(A?E)?R(A)?R(E?A)?R(A?E?A)?R(E)?n 由此 R(A)?R(A?E)?n 27 設(shè) A 為 n 階矩陣 (n?2) A*為 A 的伴隨陣 證明 ??????? ????2)( 0 1)( 1)( *)(nAR nARnARnAR當(dāng)當(dāng)當(dāng) 證明 當(dāng) R(A)?n 時 |A|?0 故有 |AA*|?||A|E|?|A| 0 |A*| 0 所以 R(A*)?n 當(dāng) R(A)?n?1 時 |A|?0 故有 AA*?|A|E?0 即 A*的列向量都是方程組 Ax?0 的解 因為 R(A)?n?1 所以方程組 Ax?0 的基礎(chǔ)解系中只含一個解向量 即基礎(chǔ)解系的秩為 1 因此 R(A*)?1 當(dāng) R(A)?n?2 時 A 中每個元素的代數(shù)余子式都為 0 故A*?O 從而 R(A*)?0 28 求下列非齊次方程組的一個解及對應(yīng)的齊次線性方程組的 基礎(chǔ)解系 ? (1)????????? ??????32235 12254321432121xxxx xxxxxx 解 對增廣矩陣進行初等行變換 ? 有 ???????? ? ??????????21000 13011080101 32235 1211250011 ~rB 與所給 方程組 同解的方程為 ?????? ?????2 13 843231x xxxx 當(dāng) x3?0 時 得所給 方程組的一個解 ?(?8 13 0 2)T 與對應(yīng)的 齊次方程組 同解的方程為 ?????????0 4 3231x xxxx 當(dāng) x3?1 時 得對應(yīng)的 齊次方程組的 基礎(chǔ)解系 ?(?1 1 1 0)T (2)?????????? ?????????6242 163511325432143214321xxxx xxxxxxxx 解 對增廣矩陣進行初等行變換 ? 有 ???????? ?? ???????????????00000 22/17/11012/17/901 61242 11635113251 ~rB 與所給 方程組 同解的方程為 ??? ??? ???? 2)2/1((1/ 7) 1)2/1()7/9( 432 431 xxx xxx 當(dāng) x3?x4?0 時 得所給 方程組的一個解 ?(1 ?2 0 0)T 與對應(yīng)的 齊次方程組 同解的方程為 ??? ?? ??? 432 431 )2/1((1/ 7) )2/1()7/9( xxx xxx 分別取 (x3 x4)T?(1 0)T (0 1)T 得 對應(yīng)的 齊次方程組的 基礎(chǔ)解系 1?(?9 1 7 0)T 2?(1 ?1 0 2)T 29 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為 3? 已知1 2 3是它的三個解向量 ? 且 1?(2 3 4 5)T 2? 3?(1 2 3 4)T 求該方程組的通解 ? 解 由于方程組中未知數(shù)的個數(shù)是 4 系數(shù)矩陣的秩為3? 所以對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個向量 ? 且由于 1 2 3均為方程組的解 ? 由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得 2 1?( 2? 3)?( 1? 2)?( 1? 3)? (3 4 5 6)T 為其基礎(chǔ)解系向量 ? 故此方程組的通解 ? x?k(3 4 5 6)T?(2 3 4 5)T? (k?R) 30 設(shè)有向量組 A a1?( 2 10)T a2?(?2 1 5)T a3?(?1 1 4)T 及 b?(1 ?1)T 問 為何值時 (1)向量 b 不能由向量組 A 線性表示 (2)向量 b 能由向量組 A 線性表示 且表示式唯一 (3)向量 b 能由向量組 A 線性表示 且表示式不唯一 并求一般表示式 解 ????????????11054 211121) , , ,(123 ??baaa????????? ???????? 3400 11012 ~r (1)當(dāng) ??4 ?0 時 R(A)?R(A b) 此時 向量 b 不能由向量組 A 線性表示 (2)當(dāng) ??4 時 R(A)?R(A b)?3 此時向量組 a1 a2 a3 線性無關(guān) 而向量組 a1 a2 a3 b 線性相關(guān) 故向量 b 能由向量組 A 線性表示 且表示式唯一 (3)當(dāng) ??4 ?0 時 R(A)?R(A b)?2 此時 向量 b能由向量組 A 線性表示 且表示式不唯一 當(dāng) ??4 ?0 時 ?????????????11054 02111421) , , ,(123 baaa ??????0000 1301201 ~r 方程組 (a3 a2 a1)x?b 的解為 ???????? ?? ?????????? ?????????? ??????????ccccxxx 13 120111 32321 c?R 因此 b?(2c?1)a3?(?3c?1)a2?ca1 即 b? ca1?(?3c?1)a2?(2c?1)a3 c?R 31 設(shè) a?(a1 a2 a3)T b?(b1 b2 b3)T c?(c1 c2 c3)T 證明三直線 l1 a1x?b1y?c1?0 l2 a2x?b2y?c2?0 (ai2?bi2?0 i?1 2 3) l3 a3x?b3y?c3?0 相交于一點的充分必要條件為 向量組 a b 線性無關(guān) 且向量組 a b c 線性相關(guān) 證明 三直線 相交于一點的充分必要條件為方程組 ???????? ??????000333222111cybxa cybxacybxa 即???????? ??????333222111cybxa cybxacybxa 有唯一解 上述方程組可寫為 xa?yb??c 因此 三直線 相交于一點的充分必要條件為 c 能由 a b 唯一線性表示 而 c能由 a b 唯一線性表示的充分必要條件為向量組 a b 線性無關(guān) 且向量組 a b c 線性相關(guān) 32 設(shè)矩陣 A?(a1 a2 a3 a4) 其中 a2 a3 a4線性無關(guān) a1?2a2? a3 向量 b?a1?a2?a3?a4 求方程 Ax?b的通解 解 由 b?a1?a2?a3?a4知 ?(1 1 1 1)T是方程 Ax?b的一個解 由 a1?2a2? a3得 a1?2a2?a3?0 知 ?(1 ?2 1 0)T是 Ax?0 的一個解 由 a2 a3 a4線性無關(guān)知 R(A)?3 故方程 Ax?b 所對應(yīng)的齊次方程 Ax?0 的基礎(chǔ)解系中含一個解向量 因此 ?(1 ?2 1 0)T是方程 Ax?0 的基礎(chǔ)解系 方程 Ax?b 的通解為 x?c(1 ?2 1 0)T?(1 1 1 1)T c?R 33 設(shè) *是非齊次線性方程組 Ax?b 的一個解 , 1 2 ? ? ? n?r 是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系 , 證明 (1) * 1 2 ? ? ? n?r線性無關(guān) ? (2) * *? 1 *? 2 ? ? ? *? n?r線性無關(guān) ? 證明 (1)反證法 , 假設(shè) * 1 2 ? ? ? n?r線性相關(guān) 因為 1 2 ? ? ? n?r線性無關(guān) 而 * 1 2