【正文】 濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集=xD n?1+an=xn+a1xn?1+ ? ? ? +an?1x+an . 因此, 對(duì)于 n 階行列式命題成立. 6. 設(shè) n 階行列式 D=det(aij), 把 D 上下翻轉(zhuǎn)、 或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 解a 0 Dn = 0 ??? 0 1 0 a 0 ??? 0 0 0 0 a ??? 0 0 0 0 a ??? 0n??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ?0 0 0 ??? a 0 0 0 0 ??? a1 0 0 (按第 n 行展開) ??? 0 a 1 a 0 2n + (?1) ? a ? ? ? 0 ??? a (n?1)(n?1) 0 (n?1)(n?1) + an =an?an?2=an?2(a2?1).0 a = (?1)n+1 0 ??? 0n +10 0 0 ??? 0 a ??= (?1) ? (?1)a (n?2)(n?2)x a (2) Dn = ? ? ? aa x ??? a??? ??? ??? ???a a ??? 。 ??? ??? ??? a?n ??? 1??? 1 ??? a?n ??? ??? ? ? ? (a ? n)n ?1 ? ? ? (a ? n)n根據(jù)第 6 題結(jié)果, 有Dn+1 = (?1)n(n +1) 21 1 a a ?1 ??? ??? a n?1 (a ?1)n?1 a n (a ?1)n此行列式為范德蒙德行列式.Dn+1 = (?1)= (?1)n(n+1) 2n+1≥i amp。 j ≥1∏[(a ? i +1) ? (a ? j +1)]n(n +1) 2n +1≥i amp。 j ≥1∏[?(i ? j)]成都大學(xué)詩葉子制作 11 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集= (?1)=n(n +1) 2? (?1)n + (n ?1)+? ? ?+1 2?n +1≥i amp。 j ≥1∏(i ? j)n +1≥i amp。 j ≥1∏(i ? j) .? ? ? ?? ? bn 。解aij=|i?j|,0 1 Dn = det(aij ) = 2 3 ??? n ?1 1 2 3 0 1 2 1 0 1 2 1 0 ??? ??? ??? n ? 2 n ?3 n ? 4 ??? ??? ??? ??? ??? ??? n ?1 n?2 n ?3 n?4 ??? 0?1 ?1 r1 ? r2 1 ===== ?1 ? r2 ? r3 ? ? ? ? ? ? n ?11 ?1 ?1 ?1 ??? n?21 1 ??? 1 1 ??? ?1 1 ? ? ? ?1 ?1 ? ? ? ??? ??? ??? n ?3 n ? 4 ? ? ?1 1 1 1 ??? 0成都大學(xué)詩葉子制作 13 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集?1 c2 + c1 ?1 ? ===== ?1 c3 + c1 ? ?1 ? ? ? ? n ?11+ a1 1 (6) Dn = 1 1+ a2 ??? ??? 1 10 0 0 ?2 0 0 ?2 ?2 0 ?2 ?2 ?2 ??? ??? ??? 2n ? 3 2n ? 4 2n ? 5??? ??? ??? ??? ??? ???0 0 0 0 ??? n ?1=(?1)n?1(n?1)2n?2.??? 1 ? ? ? 1 , 其中 a a ? ? ? a ≠0. 1 2 n ??? ??? ? ? ? 1+ an解1+ a1 1 Dn = 1 1+ a2 ??? ??? 1 1 ??? 1 ??? 1 ??? ??? ? ? ? 1+ ana1 c1 ? c2 ? a2 ===== 0 c2 ? c3 ? ? ? 0 ??? 00 a2 ? a3 ??? 0 00 0 a3 ??? 0 0??? 0 ??? 0 ??? 0 ??? ??? ? ? ? ? an?1 ??? 00 1 0 1 0 1 ??? ??? an?1 1 ? an 1+ an1 ?1 = a1a2 ? ? ? an 0 ??? 0 00 1 ?1 ??? 0 00 0 1 ??? 0 0??? ??? ??? ??? ??? ???0 0 0 ??? ?1 00 a1?1 ? 0 a2 1 ? 0 a3 1 ??? ??? ?1 1 an?1 ? ?1 1+ an 1成都大學(xué)詩葉子制作 14 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集1 0 0 = a1a2 ? ? ? an ? ? ? 0 0 1 0 ??? 0 0 0 1 ??? 0 ??? ??? ??? ??? ??? 0 0 0 ??? 0 0 0 0 ??? 1 a1?1 ? a2 1 ? a3 1 ??? ?1 an?1n i =10 0 0 ? ? ? 0 0 1+ ∑ ai?1= (a1a2Lan )(1+ ∑ 1 ) . i =1 ai 8. 用克萊姆法則解下列方程組:?x1 + x2 + x3 + x4 = 5 ?x + 2x2 ? x3 + 4x4 = ?2 (1) ? 1 。 取何值時(shí), 齊次線性方程組 ?x1 + 181。x2 + x3 = 0 ?零解？ 解 系數(shù)行列式為λ 1 1 D = 1 181。 ? 181。 1令 D=0, 得181。=0 或 λ=1 時(shí)該齊次線性方程組有非零解.?(1? λ ) x1 ? 2x2 + 4x3 = 0 ? 10. 問 λ 取何值時(shí), 齊次線性方程組 ?2x1 + (3 ? λ )x2 + x3 = 0 ?x1 + x2 + (1? λ ) x3 = 0 ?有非零解？ 解 系數(shù)行列式為1? λ ? 2 41? λ ? 3 + λ 4 D = 2 3 ? λ 1 = 2 1? λ 1 1 1 1? λ 1 0 1? λ =(1?λ)3+(λ?3)?4(1?λ)?2(1?λ)(?3?λ) =(1?λ)3+2(1?λ)2+λ?3.成都大學(xué)詩葉子制作 17 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集令 D=0, 得λ=0, λ=2 或 λ=3.于是, 當(dāng) λ=0, λ=2 或 λ=3 時(shí), 該齊次線性方程組有非零解.第二章 1. 已知線性變換:矩陣及其運(yùn)算?x1 = 2 y1 + 2 y2 + y3 ? ?x2 = 3 y1 + y2 + 5 y3 , ?x3 = 3 y1 + 2 y2 + 3 y3 ?求從變量 x1, x2, x3 到變量 y1, y2, y3 的線性變換. 解 由已知:? x1 ? ? 2 2 1?? y1 ? ? x ? = ? 3 1 5?? y ? , ? x2 ? ? 3 2 3?? y2 ? ?? 2 ? ? 3? ?故?1 ? y1 ? ? 2 2 1 ? ? x1 ? ? ? 7 ? 4 9 ?? y1 ? ? y ? = ? 3 1 5? ? x ? = ? 6 3 ? 7 ?? y ? , ? y2 ? ? 3 2 3? ? x2 ? ? 3 2 ? 4 ?? y2 ? ? ? 3? ? ?? 3 ? ? 2? ?? y1 = ?7 x1 ? 4x2 + 9x3 ? ? y2 = 6x1 + 3x2 ? 7 x3 . ? y3 = 3x1 + 2x2 ? 4x3 ?2. 已知兩個(gè)線性變換成都大學(xué)詩葉子制作 18 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集?x1 = 2 y1 + y3 ? ?x2 = ?2 y1 + 3 y2 + 2 y3 , ?x3 = 4 y1 + y2 + 5 y3 ?解 由已知? x1 ? ? 2 0 1 ?? y1 ? ? 2 0 1 ?? ? 3 1 ? x ? = ? ? 2 3 2 ?? y ? = ? ? 2 3 2 ?? 2 0 ? x2 ? ? 4 1 5 ?? y2 ? ? 4 1 5 ?? 0 ?1 ?? 2 ? ? ?? ? 3? ? ? ? 6 1 3 ?? z1 ? = ? 12 ? 4 9 ?? z2 ? , ? ?10 ?1 16?? z ? ? ?? 3 ? 0 ?? z1 ? 1 ?? z2 ? 3?? z3 ? ?? ?? y1 = ?3z1 + z2 ? ? y2 = 2z1 + z3 , ? y3 = ? z2 + 3z3 ?求從 z1, z2, z3 到 x1, x2, x3 的線性變換.?x1 = ?6z1 + z2 + 3z3 ? 所以有 ?x2 =12z1 ? 4z2 + 9z3 . ?x3 = ?10z1 ? z2 +16z3 ??1 1 1 ? ? 1 2 3? ?1 1 ?1? , B = ? ?1 ? 2 4 ? , 求 3AB?2A 及 ATB. 3. 設(shè) A = ?1 ?1 1 ? ? 0 5 1? ? ? ? ?解?1 1 1 ?? 1 2 3 ? ?1 1 1 ? 3AB ? 2 A