【正文】 32322311xxy xyxxy 即????????????323223211yyx yxyyyx 二次型化為規(guī)范形 f?y12?y22?y32 所用的變換矩陣為 ???????????110 010111C (3) f(x1 x2 x3)?2x12?x22?4x32?2x1x2?2x2x3 解 f(x1 x2 x3)?2x12?x22?4x32?2x1x2?2x2x3 322322221 2421)21(2 xxxxxx ????? 23232221 2)2(21)21(2 xxxxx ????? 令 ????????????333222112)2(21)21(2xyxxyxxy 即?????????????33322321121222212121yxyyxyyyx 二次型化為規(guī)范形 f?y12?y22?y32 所用的變換矩陣為 86 ???????? ???100 22011121C 31 設 f?x12?x22?5x32?2ax1x2?2x1x3?4x2x3 為正定二次型 求 a 解 二次型的矩陣為 ???????????521 2111a aA 其主子式為 a11?1 2111 aa a ?? )45(521 2111 ????? aaa a 因為 f 為正主二次型 所以必有 1?a2?0 且 ?a(5a?4)?0 解之得054 ??? a 32? 判別下列二次型的正定性 ? (1) f??2x12?6x22?4x32?2x1x2?2x1x3 解 二次型的矩陣為 ????????????401 061112A 因為 0211 ???a ? 01161 12 ???? ? 038|| ???A ? 所以 f為負定 ? (2) f?x12?3x22?9x32?19x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4 解 二 次型的矩陣為?????????????????19631690230311211A 因為 0111 ??a ? 0431 11 ??? ? , 06902 031 211 ??? ? , 024??A 所以 f為正定 ? 33 證明對稱陣 A為正定的充分必要條件是 存在可逆矩陣 U 使 A?U TU 即 A與單位陣 E合同 87 證明 因為對稱陣 A為正定的 所以存在正交矩陣 P使 PTAP?diag( 1 2 ? ? ? n)? 即 A?P PT 其中 1 2 ? ? ? n均為正數(shù) 令 ), , ,d i a g ( 211 n??? ????? 則 ? 1 1 A?P 1 1TPT 再令 U? 1TPT 則 U 可逆 且 A?UTU。 解 )9)(1(633 312321|| ????????? ??????? EA 故 A的特征值為 1?0 2??1 3?9? 對于特征值 1?0? 由 ?????????????????000 110321633 312321 ~A 得方程 Ax?0 的基礎解系 p1?(?1 ?1 1)T 向量 p1是對應于特征值 1?0的特征值向量 . 對于特征值 2??1, 由 ??????????????????000 100322733 322322 ~EA 得方程 (A?E)x?0 的基礎解系 p2?(?1 1 0)T 向量 p2 就是對應于特征值2??1的特征值向量 對于特征值 3?9? 由 ?????????????????????????000 2110 1113333823289 ~EA 70 得方程 (A?9E)x?0的基礎解系 p3?(1/2 1/2 1)T 向量 p3就是對應于特征值3?9的特征值向量 ? (3)??????????0001001001001000. 解 22 )1()1(001010010100|| ????????? ??????? EA 故 A的特征值為 1? 2??1 3? 4?1? 對于特征值 1? 2??1? 由 ??????????????????????00000000011010011001011001101001~EA 得方程 (A?E)x?0的基礎解系 p1?(1 0 0 ?1)T p2?(0 1 ?1 0)T 向量 p1和 p2是對應于特征值 1? 2??1的線性無關特征值向量 ? 對于特征值 3? 4?1? 由 ?????????? ? ?????????????????00000000011010011001011001101001~EA 得方程 (A?E)x?0的基礎解系 p3?(1 0 0 1)T p4?(0 1 1 0)T 向量 p3和 p4是對應于特征值 3? 4?1的線性無關特征值向量 ? 6 設 A為 n階矩陣 證明 AT與 A的特征值相同 證明 因為 |AT? E|?|(A? E)T|?|A? E|T?|A? E| 所以 AT與 A的特征多項式相同 從而 AT與 A的特征值相同 7 設 n階矩陣 A、 B滿足 R(A)?R(B)?n 證明 A與 B有公共的特征值 有公共的特征向量 證明 設 R(A)?r R(B)?t 則 r?t?n 若 a1 a2 ??? an?r是齊次方程組 Ax?0 的基礎解系 顯然它們是 A 的對應于特征值 ?0的線性無關的特征向量 71 類似地 設 b1 b2 ??? bn?t是齊次方程組 Bx?0的基礎解系 則它們是 B的對應于特征值 ?0的線性無關的特征向量 由于 (n?r)?(n?t)?n?(n?r?t)?n 故 a1 a2 ??? an?r b1 b2 ??? bn?t必線性相關 于是有不全為 0的數(shù) k1 k2 ??? kn?r l1 l2 ??? ln?t 使 k1a1?k2a2? ??? ?kn?ran?r?l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r?0 記 ?k1a1?k2a2? ??? ?kn?ran?r??(l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r) 則 k1 k2 ??? kn?r不全為 0 否則 l1 l2 ??? ln?t不全為 0 而 l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r?0 與 b1 b2 ??? bn?t線性無關相矛盾 因此 ?0 是 A的也是 B的關于 ?0的特征向量 所以 A與 B有公共的特征值 有公共的特征向量 8 設 A2?3A?2E?O 證明 A的特征值只能取 1或 2 證明 設 是 A的任意一個特征值 x是 A的對應于 的特征向量 則 (A2?3A?2E)x? 2x?3 x?2x?( 2?3 ?2)x?0 因為 x?0 所以 2?3 ?2?0 即 是方程 2?3 ?2?0 的根 也就是說?1或 ?2 9 設 A為正交陣 且 |A|??1 證明 ??1是 A的特征值 證明 因為 A為正交矩陣 所以 A的特征值為 ?1或 1 因為 |A|等于所有特征值之積 又 |A|??1 所以必有奇數(shù)個特征