【正文】 2 lim 。 x → ∞2x +12x 解 lim ∞ 因為分子次數(shù)高于分母次數(shù) x → ∞2x +13 3 lim2x ?x +1x → ∞3 解 lim2x ?x +1 ∞ 因為 分子次數(shù)高于分母次數(shù)x → ∞ 3. 計算 下列極限:12 1 limx sin 。 x →0x1 2 12 解 limx sin 0 當x →0 時, x 是無窮小, 而 sin 是有界變量x →0x xarctanx 2 limx → ∞xarctanx 1 1 解 lim lim ?arctanx 0 當 x →∞ 時, 是無窮小, 而 arctan x 是有界 變量x → ∞ x → ∞x x x 4. 證明 本節(jié)定理 3 中的2. 習題 1 ?61. 計算 下列極限:sin ωx 1 lim 。 x →0xsin ωx sin ωx 解 lim ω lim ω x →0 x →0x ωxtan3x 2 lim 。 x →0xtan3x sin3x 1 解 lim 3lim3x →0 x →0x 3x cos3xsin2x 3 lim 。 x →0sin5xsin2x sin2x 5x 2 2 解 lim lim? x →0 x →0sin5x 2x sin5x 5 5 4 lim x cot x 。 x →0x x 解 lim xcot x lim ?cosx lim ?limcosx 1x →0 x →0 x →0 x →0sin x sin x1 ?cos2x 5 lim 。 x →0xsin x21 ?cos2x 1 ?cos2x 2sin x sin x 2 解法一 lim lim lim 2lim 2 2 2x →0 x →0 x →0 x →0xsin x x x x21 ?cos2x 2sin x sin x 解法二 lim lim 2lim 2x →0 x →0 x →0xsin x xsin x xxn 6 lim 2 sin x 為不等于零的常數(shù)nn → ∞2xsinnxn2 解 lim2 sin lim ?x x nxn → ∞ n → ∞2n2 2. 計算 下列極限:1x 1 lim1 ?x 。 x →01 11?1?1?1?x ?xx 解 lim1x lim[1 + ?x] lim[1 + ?x] e x →0 x →0 x →01x 2 lim1 +2x 。 x →01 1 1?222x 2x 2x 解 lim1 +2x lim1 +2x [ lim1 +2x ] e x →0 x →0 x →01 + x2x 3 lim 。 x → ∞x1 + x 1 22x x 2[ ] 解 lim lim1 + e x → ∞ x → ∞x x1kx 4 lim1 k 為正整數(shù)x → ∞x1 1kx ?x ?k ?k 解 lim1 lim1 + e x → ∞ x → ∞xx 3. 根據(jù) 函數(shù)極限的定義, 證明極 限存在的準則 I ′ 解4. 利用 極限存在準則證明:1 1 lim 1 + 1。 n → ∞ n1 1 證明 因為1 1 + 1 + ,n n1而lim1 1 且 lim1 + 1,n → ∞ n → ∞ n1由極限存在準則 I, lim 1 + 1n → ∞n1 1 1 2 limn + + + 1。 2 2 2n → ∞n + π n +2 π n +n π 證明 因為 2 2n 1 1 1 nn + + + ,2 2 2 2 2n +n π n + π n +2 π n +n π n + π2 2n n而lim 1, lim 1,2 2n → ∞ n → ∞n +n π n + π1 1 1所以 limn + + + 12 2 2n → ∞ n + π n +2 π n +n π 3 數(shù)列 2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 , 的極 限存在。 證明 x 2 , x 2 + x n 1, 2, 3,1 n +1 n 先證明 數(shù)列x 有界. 當n 1 時 x 2 2 , 假定n k 時x 2, 當n k +1 時,n k1x 2 + x 2 +2 2,k +1 k所以x 2n 1, 2, 3, 即數(shù)列x 有界n n 再證明 數(shù)列單調(diào)增22 + xx ?x ?2x +1n n n nxx 2 + xx ,n +1 n n n2 + x + x 2 + x + xn n n n而x ?2 0, x +1 0, 所以x ?x 0, 即數(shù) 列x 單調(diào)增n n n +1 n n 因為數(shù) 列x 單調(diào)增加有上界, 所 以此數(shù)列是有極限的nnlim 1 + x 1 4 。x →0 證明 當|x| ≤1 時, 則有 n 1 +x ≤1 +|x| ≤1 +|x| ,n 1 +x ≥1 ?|x| ≥1 ?|x| ,n從而有 1 ?|x| ≤ 1 + x ≤1 +|x|因為 lim1 ?|x| lim1 +|x| 1,x →0 x →0根據(jù)夾逼準則, 有 nlim 1 + x 1x →01 5 lim x [ ] 1+x →0 x1 1 1 1 證明 因為 ?1 [ ] ≤ , 所以1x x [ ] ≤1x x x x1 又因為 lim 1x lim 1 1 , 根據(jù)夾逼準則, 有 lim x [ ] 1+ + +x →0 x →0 x →0x習題 1?7 2 2 3 1. 當x→0 時, 2x?x 與x ?x 相比, 哪一個是高 階無窮小? 2 3 2x ?x x?x 解 因為 lim lim 0,2x→0 x→02?x2x?x2 3 2 3 2所以當x→0 時, x ?x 是高階無窮小, 即x ?x o2x?x 13 2 2. 當x→1 時, 無窮小 1?x 和11?x , 2 1x 是否同階?是否等價? 23 21?x 1?x1+x+x 2 解 1 因為 lim lim lim1+x+x 3,x→1 x→1 x→11?x 1?x3所以當x→1 時, 1?x 和 1?x 是同階的無窮小, 但不是 等價無窮小121?x 12 2 因為 lim lim1+x1,x→1 x→11?x 212所以當x→1 時, 1?x 和 1?x 是同階的無窮小, 而且是等 價無窮小2 3. 證明: 當x→0 時, 有: 1 arctanx~x。2x 2 secx?1~2arctanx y 證明 1 因為 lim lim 1 提示: 令yarctan x, 則當x→0 時, y →0,x→0 y→0x tany所以當x→0 時, arctanx~xx x22sin 2sin2secx?1 1?cosx2 2 2 因為 lim 2lim lim lim 1,2 2x→0 x→0 x→0 x→01 x2 x cosx xx2 222x所以當x→0 時, secx?1~2 4. 利用 等價無窮小的性質, 求下 列極限:tan3x 1 lim 。 x→02xnsinx 2 lim n, m 為正整數(shù)。 mx→0sinxtanx?sinx 3 lim 。3x→0sin xsinx?tanx 4 lim x→0 3 21+x ?1 1+sinx ?1tan3x 3x 3 解 1 lim lim x→0 x→02x 2x 21 nmnnsinx x 2 lim lim 0 nmm mx→0 x→0sinx x∞nm1 12sinx ?1 xtanx?sinx 1?cosx 1cosx2 3 lim lim lim lim 3 3 2 2x→0 sin x x→0 sin x x→0 cosxsin x x→0x cosx 2 4 因為