【正文】 同濟大學(xué)《高等數(shù)學(xué)第五版》上下冊習(xí)題答案 習(xí)題 1?11. 設(shè) A?∞, ?5∪5, +∞, B[?10, 3, 寫出 A∪B, A∩B, A\B及 A\A\B的表達式解 A∪B?∞, 3∪5, +∞, A∩B[?10, ?5, A\B?∞, ?10∪5, +∞, A\A\B[?10, ?5C C C2. 設(shè)A、B是任意兩個集合, 證明對偶律: A∩B A ∪B證明 因為 C C C C Cx∈A∩B ?x?A∩B? x?A或x?B? x∈A 或x∈Bx∈A ∪B ,C C C 所以 A∩B A ∪B 3. 設(shè)映射 f : X →Y, A?X, B?X證明1fA∪BfA∪fB。 2fA∩B?fA∩fB 證明 因為 y∈fA∪B??x∈A∪B, 使 fxy?因為 x∈A 或 x∈B y∈fA或 y∈fB? y∈ fA∪fB,所以 fA∪BfA∪fB 2因為y∈fA∩Bx∈A∩B, 使 fxy?因為 x∈A且 x∈B y∈fA且 y∈fB? y∈ fA∩fB, 所以 fA∩B?fA∩fB 4. 設(shè)映射f : X→Y, 若存在一個映射g: Y→X, 使 g f I , f g I , 其中I 、I 分別是X、X YX YY上的恒等映射, 即對于每一個x∈X, 有I xx。 對于每一個y∈Y, 有I yy. 證明: f是雙射, 且gX Y?1是f的逆映射: gf證明 因為對于任意的y∈Y, 有xgy∈X, 且fxf[gy]I yy, 即Y中任意元素都是X中某y元素的像, 所以f為X到Y(jié)的滿射 又因為對于任意的x ≠x , 必有fx ≠fx , 否則若fx fx ?g[ fx ]g[fx ]x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 因此 f 既是單射, 又是滿射, 即 f 是雙射 對于映射g: Y→X, 因為對每個y∈Y, 有g(shù)yx∈X, 且滿足fxf[gy]I yy, 按逆映射的y定義, g是f的逆映射 5. 設(shè)映射 f : X→Y, A?X證明: ?1 1f fA?A。 ?1 2當(dāng)f是單射時, 有f fAA ?1 ?1 證明 1因為x∈Afxy∈fAf yx∈f fA, ?1所以 f fA?A1 2由1知f fA?A1 ?1 另一方面, 對于任意的x∈f fA?存在y∈fA, 使f yx?fxy因為y∈fA且f是單1 ?1射, 所以x∈A. 這就證明了f fA?A. 因此f fAA6. 求下列函數(shù)的自然定義域: 1 y 3x+2 。 2 2 解 由 3x+2≥0 得 x 函數(shù)的定義域為[? , +∞ 3 31 2 y 。 21?x2 解 由 1?x ≠0得x≠177。1函數(shù)的定義域為?∞, ?1∪?1, 1∪1, +∞12 3 y 1?x 。 x2 解 由x≠0 且 1?x ≥0得函數(shù)的定義域D[?1, 0∪0, 1]1 4 y 。 24?x2 解 由 4?x 0 得 |x|2函數(shù)的定義域為?2, 2 5 y sin x 。解 由 x≥0 得函數(shù)的定義 D[0, +∞ 6 ytanx+1。 π πx≠kπ + ?1解 由 x+1≠ k0, 177。1, 177。2,得函數(shù)的定義域為 k0, 177。1, 177。2,2 2 7 yarcsinx?3。 解 由|x?3|≤1 得函數(shù)的定義域 D[2, 4]1 8 y 3? x +arctan 。x 解 由 3?x≥0 且 x≠0 得函數(shù)的定義域 D?∞, 0∪0, 3 9 ylnx+1。 解 由 x+10 得函數(shù)的定義域 D?1, +∞1x 10 ye解 由 x≠0 得函數(shù)的定義域 D?∞, 0∪0, +∞ 7. 下列各題中, 函數(shù) fx和 gx是否相同?為什么? 2 1fxlg x , gx2lg x。 2 2 fxx, gx x 。 3 34 3 3 f x xx , gx x x?12 2 4fx1, gxsec x?tan x解 1不同因為定義域不同 2不同因為對應(yīng)法則不同, x0時, gx?x 3相同因為定義域、對應(yīng)法則均相相同 4不同因為定義域不同π|sin x| |x|π π π3 8. 設(shè)?x , 求? , ? , ?? , ??2, 并作出函數(shù) y?x的圖形π 6 4 4?0 |x|≥3π π 1 π π 2 π π 2 解 ? |sin | , ? |sin | , ?? |sin? | , ??20 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9. 試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性:x 1 y , ?∞, 1。1? x 2yx+ln x, 0, +∞ 證明 1對于任意的x , x ∈?∞, 1, 有 1?x 0, 1?x 0. 因為當(dāng)x x 時, 1 2 1 2 1 2x x xx1 2 1 2yy 0,1 21? x 1? x 1? x 1? x 1 2 1 2x所以函數(shù) y 在區(qū)間?∞, 1內(nèi)是單調(diào)增加的1? x 2對于任意的x , x ∈0, +∞, 當(dāng)x x 時, 有 1 2 1 2x1yy x +ln x ?x +ln x xx +ln 0,1 2 1 1 2 2 1 2x2所以函數(shù) yx+ln x 在區(qū)間0, +∞內(nèi)是單調(diào)增加的 10. 設(shè) fx為定義在?l, l內(nèi)的奇函數(shù), 若 fx在0, l內(nèi)單調(diào)增加, 證明 fx在?l, 0內(nèi)也單調(diào)增加 證明 對于?x , x ∈?l, 0且x x , 有?x , ?x ∈0, l且?x ?x 1 2 1 2 1 2 1 2 因為 fx在0, l內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù), 所以 f?x f?x ,fx ?fx , fx fx ,2 1 2 1 2 1這就證明了對于?x , x ∈?l, 0, 有fx fx , 所以fx在?l, 0內(nèi)也單調(diào)增加1 2 1 2 11. 設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間?l, l上的, 證明: 1兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù), 兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)。 2兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù) 證明 1設(shè) Fxfx+gx. 如果 fx和 gx都是偶函數(shù), 則 F?xf?x+g?xfx+gxFx,所以 Fx為偶函數(shù), 即兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù) 如果 fx和 gx都是奇函數(shù), 則 F?xf?x+g?x?fx?gx?Fx,所以 Fx為奇函數(shù), 即兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù) 2設(shè) Fxfx?gx. 如果 fx和 gx都是偶函數(shù), 則 F?xf?x?g?xfx?gxFx,所以 Fx為偶函數(shù), 即兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù) 如果 fx和 gx都是奇函數(shù), 則 F?xf?x?g?x[?fx][?gx]fx?gxFx,所以 Fx為偶函數(shù), 即兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù) 如果 fx是偶函數(shù), 而 gx是奇函數(shù), 則 F?xf?x?g?xfx[?gx]?fx?gx?Fx,所以 Fx為奇函數(shù), 即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù) 12. 下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù), 哪些是奇函數(shù), 哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)? 2 21yx 1?x 。2 32y3x ?x 。 21?x3 y 。21+x4yxx?1x+1。 5ysin x?cos x+1。 x ?xa +a6 y 22 2 2 2 解 1因為f?x?x [1??x ]x 1?x fx, 所以fx是偶函數(shù)2 3 2 3 2由f?x3?x ??x 3x +x 可見fx既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)221??x1? x 3因為 f ?x f x , 所以 fx是偶函數(shù)221+ x1+x 4因為 f?x?x?x?1?x+1?xx+1x?1?fx, 所以 fx是奇函數(shù) 5由 f?xsin?x?cos?x+1?sin x?cos x+1 可見 fx既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)?x ??x ?x xa +a a +a 6因為 f ?x f x , 所以 fx是偶函數(shù)2 2 13. 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)?對于周期函數(shù), 指出其周期: 1ycosx?2。 2ycos 4x。 3y1+sin πx。 4yx cos x。 25ysin x 解 1是周期函數(shù), 周期為 l2ππ 2是周期函數(shù), 周期為 l 2 3是周期函數(shù), 周期為 l2 4不是周期函數(shù) 5是周期函數(shù), 周期為 lπ 14. 求下列函數(shù)的反函數(shù):3 1 y x+1 。1?x 2 y 。 1+xax+b 3 y ad?bc≠0。cx+d 4 y2sin3x。 5 y1+lnx+2。x2 6 y x2 +13 33 3