【正文】 nθ ? . ? ? sinθ cosθ ? | A| ? ?? 1 2 ?1 ? (3) ? 3 4 ? 2 ? 。 ?5 ? 4 1 ? ? ?解? 1 2 ?1 ? A = ? 3 4 ? 2 ? . |A|=2≠0, 故 A?1 存在. 因?yàn)??5 ? 4 1 ? ? ?? A11 A21 A31 ? ? ? 4 2 0 ? A* = ? A12 A22 A32 ? = ? ?13 6 ?1 ? , ? ? ? ? ? A13 A23 A33 ? ? ? 32 14 ? 2 ?所以? ?2 1 0 ? 1 A* = ? ? 13 3 ? 1 ? . A?1 = ? 2 | A| 2? ? ?16 7 ?1 ? ? ?? a1 a 0? ? ? 2 (4) ? ? (a1a2? ? ?an ≠0) . 0 O ? ? an ? ?解? a1 0? ? a ? 2 A=? , 由對角矩陣的性質(zhì)知 O ? ?0 an ? ? ?成都大學(xué)詩葉子制作 26 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集?1 ? ?a 1 0? ? 1 a ? ?1 2 ?. A =? ? O 1? 0 ? ? ? an ? ? ? 12. 解下列矩陣方程: (1) ? 2 ?1 ?5? X = ? 4 ? 6 ? 。 ?2 1 ? 3? ? ? ?解X =?2 ?1 ?5? ? 4 ? 6 ? = ? 3 ? 5?? 4 ? 6 ? = ? 2 ? 23? . 3? ? 2 1 ? ? ?1 2 ?? 2 1 ? ? 0 8 ? ? ? ? ? ?? ? ? ??1? 2 1 ?1? 1 ?1 3 (2) X ? 2 1 0 ? = ? ? 4 3 2? 。 ? ? 1 ?1 1 ? ? ? ? ?解? 2 1 ?1? ? 1 ?1 3 ?? 2 1 0 ? X =? ? ? 4 3 2 ?? 1 ?1 1 ? ? ??11 0 1 1 ? 1 ?1 3 ?? ? 2 3 ? 2 ? ? ? = ? 4 3 2 ?? ? 3 3 0 ? 3? ? ? ? ??2 2 1 ? =?? 8 5 ? 2 ? . ? ? 3? ? 3(3) ? 1 4 ? X ? 2 0 ? = ? 3 1 ? 。 ? ?1 2 ? ? ?1 1 ? ? 0 ?1? ? ? ? ? ? ?解X =? 1 ? ?1 ?4 ? ? 3 1 ?? 2 2 ? ? 0 ?1?? ?1 ? ? ???10? 1? ??1成都大學(xué)詩葉子制作 27 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集= 1 ? 2 ? 4 ?? 3 1 ??1 0 ? ? ?? ?? ? 12 ? 1 1 ?? 0 ?1??1 2 ? = 1 ?6 ? 12 ? 3 6 ??1 0 ??1 ?? 0? = ? 1 1? . ?1 ? 2? ? 0? ? ?4 ?? 0 1 0? ? 1 0 0? ? 1 ? 4 3 ? (4) ? 1 0 0 ? X ? 0 0 1 ? = ? 2 0 ?1? . ? 0 0 1? ? 0 1 0? ? 1 ? 2 0 ? ? ? ? ? ? ?解? 0 1 0 ? ? 1 ? 4 3 ?? 1 0 0 ? X = ? 1 0 0 ? ? 2 0 ?1?? 0 0 1 ? ? 0 0 1 ? ? 1 ? 2 0 ?? 0 1 0 ? ? ? ? ?? ??1?1? 0 1 0 ?? 1 ? 4 3 ?? 1 0 0 ? ? 2 ?1 0 ? = ? 1 0 0 ?? 2 0 ?1?? 0 0 1 ? = ? 1 3 ? 4 ? . ? 0 0 1 ?? 1 ? 2 0 ?? 0 1 0 ? ? 1 0 ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? 13. 利用逆矩陣解下列線性方程組: ? x1 + 2x2 + 3x3 =1 ? (1) ?2x1 + 2x2 + 5x3 = 2 。 ? 3x1 + 5x2 + x3 = 3 ?解方程組可表示為? 1 2 3?? x1 ? ? 1 ? ? 2 2 5?? x ? = ? 2 ? , ? 3 5 1 ?? x2 ? ? 3 ? ? ?? 3 ? ? ?故? x1 ? ? 1 2 3? ? 1 ? ? 1 ? ? x ? = ? 2 2 5? ? 2 ? = ? 0 ? , ? x2 ? ? 3 5 1 ? ? 3 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 3? ??1成都大學(xué)詩葉子制作 28 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集從而有? x1 =1 ? ?x2 = 0 . ? x3 = 0 ?? x1 ? x2 ? x3 = 2 ? (2) ? 2x1 ? x2 ? 3x3 =1 . ?3x1 + 2x2 ? 5x3 = 0 ?解方程組可表示為? 1 ?1 ?1 ?? x1 ? ? 2 ? ? 2 ?1 ? 3?? x ? = ? 1 ? , ? 3 2 ? 5?? x2 ? ? 0 ? ? ?? 3 ? ? ?故? x1 ? ? 1 ?1 ?1? ? 2 ? ? 5 ? ? x ? = ? 2 ?1 ? 3? ? 1 ? = ? 0 ? , ? x2 ? ? 3 2 ? 5? ? 0 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? x1 = 5 ? ?x2 = 0 . ? x3 = 3 ??1故有14. 設(shè) Ak=O (k 為正整數(shù)), 證明(E?A)?1=E+A+A2+? ? ?+Ak?1.證明 所以因?yàn)?Ak=O , 所以 E?Ak=E. 又因?yàn)?E?Ak=(E?A)(E+A+A2+? ? ?+Ak?1),(E?A)(E+A+A2+? ? ?+Ak?1)=E, (E?A)?1=E+A+A2+? ? ?+Ak?1.由定理 2 推論知(E?A)可逆, 且證明一方面, 有 E=(E?A)?1(E?A).成都大學(xué)詩葉子制作 29 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集另一方面, 由 Ak=O, 有 E=(E?A)+(A?A2)+A2?? ? ??Ak?1+(Ak?1?Ak) =(E+A+A2+? ? ?+A k?1)(E?A), 故 (E?A)?1(E?A)=(E+A+A2+? ? ?+Ak?1)(E?A), (E?A)?1(E?A)=E+A+A2+? ? ?+Ak?1. 15. 設(shè)方陣 A 滿足 A2?A?2E=O, 證明 A 及 A+2E 都可逆, 并 求 A?1 及(A+2E)?1. 證明 由 A2?A?2E=O 得 A2?A=2E, 即 A(A?E)=2E, 或A ? 1 ( A ? E) = E , 2兩端同時(shí)右乘(E?A)?1, 就有由定理 2 推論知 A 可逆, 且 A?1 = 1 ( A ? E) . 2 由 A2?A?2E=O 得A2?A?6E=?4E, 即(A+2E)(A?3E)=?4E,或( A + 2E) ? 1 (3E ? A) = E 4由定理 2 推論知(A+2E)可逆, 且 ( A + 2E)?1 = 1 (3E ? A) . 4 證明 由 A2?A?2E=O 得 A2?A=2E, 兩端同時(shí)取行列式得成都大學(xué)詩葉子制作 30 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集|A2?A|=2, 即 故 由 |A||A?E|=2, |A|≠0, A2?A?2E=O ?A(A?E)=2E ?A?1A(A?E)=2A?1E? A?1 = 1 ( A ? E) , 2 又由 A2?A?2E=O?(A+2E)A?3(A+2E)=?4E ? (A+2E)(A?3E)=?4 E, 所以 (A+2E)?1(A+2E)(A?3E)=?4(A+2 E)?1,( A + 2E)?1 = 1 (3E ? A) . 4 16. 設(shè) A 為 3 階矩陣, | A|= 1 , 求|(2A)?1?5A*|. 2 解 因?yàn)?A?1 = 1 A* , 所以 | A|| (2 A)?1 ? 5 A*|=| 1 A?1 ? 5| A| A?1 | =| 1 A?1 ? 5 A?1 | 2 2 2 =|?2A?1|=(?2)3|A?1|=?8|A|?1=?82=?16.所以 A 可逆, 而 A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|2≠0, 故 A+2E 也可逆.17. 設(shè) 矩 陣 A 可 逆 , 證 明 其 伴 隨 陣 A* 也 可 逆 , 且 (A*)?1=(A?1)*.證明由 A?1 = 1 A* , 得 A*=|A|A?1, 所以當(dāng) A 可逆時(shí), 有 | A||A*|=|A|n|A?1|=|A|n?1≠0,成都大學(xué)詩葉子制作 31 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集 同濟(jì)版 工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案全集從而 A*也可逆. 因?yàn)?A*=|A|A?1, 所以 (A*)?1=|A|?1A. 又 A = 1?1 ( A?1)*=| A| ( A?1) * , 所以 |A |(A*)?1=|A|?1A=|A|?1|A|(A?1)*=(A?1)*. 18. 設(shè) n 階矩陣 A 的伴隨矩陣為 A*, 證明: (1)若|A|=0