【正文】 程組同解的方程為. 當x3=0時, 得所給方程組的一個解h=(8, 13, 0, 2)T. 與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為. 當x3=1時, 得對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系x=(1, 1, 1, 0)T. (2). 解 對增廣矩陣進行初等行變換, 有 . 與所給方程組同解的方程為. 當x3=x4=0時, 得所給方程組的一個解h=(1, 2, 0, 0)T. 與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為. 分別取(x3, x4)T=(1, 0)T, (0, 1)T, 得對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系x1=(9, 1, 7, 0)T. x2=(1, 1, 0, 2)T. 29. 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3, 已知h1, h2, h3是它的三個解向量. 且h1=(2, 3, 4, 5)T, h2+h3=(1, 2, 3, 4)T,求該方程組的通解. 解 由于方程組中未知數(shù)的個數(shù)是4, 系數(shù)矩陣的秩為3, 所以對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個向量, 且由于h1, h2, h3均為方程組的解, 由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得2h1(h2+h3)=(h1h2)+(h1h3)= (3, 4, 5, 6)T為其基礎(chǔ)解系向量, 故此方程組的通解: x=k(3, 4, 5, 6)T+(2, 3, 4, 5)T, (k206。R). 30. 設(shè)有向量組A: a1=(a, 2, 10)T, a2=(2, 1, 5)T, a3=(1, 1, 4)T, 及b=(1, b, 1)T, 問a, b為何值時 (1)向量b不能由向量組A線性表示。 (2)向量b能由向量組A線性表示, 且表示式唯一。 (3)向量b能由向量組A線性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解 . (1)當a=4, b185。0時, R(A)185。R(A, b), 此時向量b不能由向量組A線性表示. (2)當a185。4時, R(A)=R(A, b)=3, 此時向量組a1, a2, a3線性無關(guān), 而向量組a1, a2, a3, b線性相關(guān), 故向量b能由向量組A線性表示, 且表示式唯一. (3)當a=4, b=0時, R(A)=R(A, b)=2, 此時向量b能由向量組A線性表示, 且表示式不唯一. 當a=4, b=0時, 方程組(a3, a2, a1)x=b的解為 , c206。R. 因此 b=(2c+1)a3+(3c1)a2+ca1, 即 b= ca1+(3c1)a2+(2c+1)a3, c206。R. 31. 設(shè)a=(a1, a2, a3)T, b=(b1, b2, b3)T, c=(c1, c2, c3)T, 證明三直線 l1: a1x+b1y+c1=0, l2: a2x+b2y+c2=0, (ai2+bi2185。0, i=1, 2, 3) l3: a3x+b3y+c3=0,相交于一點的充分必要條件為: 向量組a, b線性無關(guān), 且向量組a, b, c線性相關(guān). 證明 三直線相交于一點的充分必要條件為方程組, 即有唯一解. 上述方程組可寫為xa+yb=c. 因此三直線相交于一點的充分必要條件為c能由a, b唯一線性表示, 而c能由a, b唯一線性表示的充分必要條件為向量組a, b線性無關(guān), 且向量組a, b, c線性相關(guān). 32. 設(shè)矩陣A=(a1, a2, a3, a4), 其中a2, a3, a4線性無關(guān), a1=2a2 a3. 向量b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解. 解 由b=a1+a2+a3+a4知h=(1, 1, 1, 1)T是方程Ax=b的一個解. 由a1=2a2 a3得a12a2+a3=0, 知x=(1, 2, 1, 0)T是Ax=0的一個解. 由a2, a3, a4線性無關(guān)知R(A)=3, 故方程Ax=b所對應(yīng)的齊次方程Ax=0的基礎(chǔ)解系中含一個解向量. 因此x=(1, 2, 1, 0)T是方程Ax=0的基礎(chǔ)解系. 方程Ax=b的通解為x=c(1, 2, 1, 0)T+(1, 1, 1, 1)T, c206。R. 33. 設(shè)h*是非齊次線性方程組Ax=b的一個解, x1, x2, , xnr ,是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系, 證明: (1)h*, x1, x2, , xnr線性無關(guān)。 (2)h*, h*+x1, h*+x2, , h*+xnr線性無關(guān). 證明 (1)反證法, 假設(shè)h*, x1, x2, , xnr線性相關(guān). 因為x1, x2, , xnr線性無關(guān), 而h*, x1, x2, , xnr線性相關(guān), 所以h*可由x1, x2, , xnr線性表示, 且表示式是唯一的, 這說明h*也是齊次線性方程組的解, 矛盾. (2)顯然向量組h*, h*+x1, h*+x2, , h*+xnr與向量組h*, x1, x2, , xnr可以相互表示, 故這兩個向量組等價, 而由(1)知向量組h*, x1, x2, , xnr線性無關(guān), 所以向量組h*, h*+x1, h*+x2, , h*+xnr也線性無關(guān). 34. 設(shè)h1, h2, , hs是非齊次線性方程組Ax=b的s個解, k1, k2, , ks為實數(shù), 滿足k1+k2+ +ks=1. 證明x=k1h1+k2h2+ +kshs也是它的解. 證明 因為h1, h2, , hs都是方程組Ax=b的解, 所以 Ahi=b (i=1, 2, , s), 從而 A(k1h1+k2h2+ +kshs)=k1Ah1+k2Ah2+ +ksAhs =(k1+k2+ +ks)b=b. 因此x=k1h1+k2h2+ +kshs也是方程的解. 35. 設(shè)非齊次線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣的秩為r, h1, h2, , hnr+1是它的nr+1個線性無關(guān)的解. 試證它的任一解可表示為x=k1h1+k2h2+ +knr+1hnr+1, (其中k1+k2+ +knr+1=1). 證明　因為h1, h2, , hnr+1均為Ax=b的解, 所以x1=h2h1, x2=h3h1, , xnr=h nr+1h1均為Ax=b的解. 用反證法證: x1, x2, , xnr線性無關(guān). 設(shè)它們線性相關(guān), 則存在不全為零的數(shù)l1, l2, , lnr, 使得 l1x1+ l2x2+ + l nr x nr=0,即 l1(h2h1)+ l2(h3h1)+ + l nr(hnr+1h1)=0,亦即 (l1+l2+ +lnr)h1+l1h2+l2h3+ +l nrhnr+1=0,由h1, h2, , hnr+1線性無關(guān)知 (l1+l2+ +lnr)=l1=l2= =lnr=0,矛盾. 因此x1, x2, , xnr線性無關(guān). x1, x2, , xnr為Ax=b的一個基礎(chǔ)解系. 設(shè)x為Ax=b的任意解, 則xh1為Ax=0的解, 故xh1可由x1, x2, , xnr線性表出, 設(shè) xh1=k2x1+k3x2+ +knr+1xnr =k2(h2h1)+k3(h3h1)+ +knr+1(hnr+1h1), x=h1(1k2k3 knr+1)+k2h2+k3h3+ +k nr+1hnr+1. 令k1=1k2k3 knr+1, 則k1+k2+k3 knr+1=1, 于是 x=k1h1+k2h2+ +knr+1hnr+1. 36. 設(shè)V1={x=(x1, x2, , xn)T | x1, , xn206。R滿足x1+x2+ +xn=0},V2={x=(x1, x2, , xn)T | x1, , xn206。R滿足x1+x2+ +xn=1},問V1, V2是不是向量空間？為什么？ 解 V1是向量空間, 因為任取 a=(a1, a2, , an)T 206。V1, b=(b1, b2, , bn)T 206。V1, l206。206。R,有 a1+a2+ +an=0, b1+b2+ +bn=0, 從而 (a1+b1)+(a2+b2)+ +(an+bn) =(a1+a2+ +an)+(b1+b2+ +bn)=0, la1+la2+ +lan=l(a1+a2+ +an)=0,所以 a+b=(a1+b1, a2+b2, , an+bn)T206。V1, la=(la1, la2, , lan)T 206。V1. V2不是向量空間, 因為任取 a=(a1, a2, , an)T 206。V1, b=(b1, b2, , bn)T 206。V1,有 a1+a2+ +an=1, b1+b2+ +bn=1, 從而 (a1+b1)+(a2+b2)+ +(an+bn) =(a1+a2+ +an)+(b1+b2+ +bn)=2, 所以 a+b=(a1+b1, a2+b2, , an+bn)T207。V1. 37. 試證: 由a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 0, 1)T, a3=(1, 1, 0)T所生成的向量空間就是R3.證明　 設(shè)A=(a1, a2, a3), 由 ,知R(A)=3, 故a1, a2, a3線性無關(guān), 所以a1, a2, a3是三維空間R3的一組基, 因此由a1, a2, a3所生成的向量空間就是R3. 38. 由a1=(1, 1, 0, 0)T, a2=(1, 0, 1, 1)T所生成的向量空間記作V1,由b1=(2, 1, 3, 3)T, b2=(0, 1, 1, 1)T所生成的向量空間記作V2, 試證V1=V2. 證明 設(shè)A=(a1, a2), B=(b1, b2). 顯然R(A)=R(B)=2, 又由 , 知R(A, B)=2, 所以R(A)=R(B)=R(A, B), 從而向量組a1, a2與向量組b1, b2等價. 因為向量組a1, a2與向量組b1, b2等價, 所以這兩個向量組所生成的向量空間相同, 即V1=V2. 39. 驗證a1=(1, 1, 0)T, a2=(2, 1, 3)T, a3=(3, 1, 2)T為R3的一個基, 并把v1=(5, 0, 7)T, v2=(9, 8, 13)T用這個基線性表示. 解 設(shè)A=(a1, a2, a3). 由,知R(A)=3, 故a1, a2, a3線性無關(guān), 所以a1, a2, a3為R3的一個基. 設(shè)x1a1+x2a2+x3a3=v1, 則,解之得x1=2, x2=3, x3=1, 故線性表示為v1=2a1+3a2a3. 設(shè)x1a1+x2a2+x3a3=v2, 則,解之得x1=3, x2=3, x3=2, 故線性表示為v2=3a13a22a3. 40. 已知R3的兩個基為 a1=(1, 1, 1)T, a2=(1, 0, 1)T, a3=(1, 0, 1)T, b1=(1, 2, 1)T, b2=(2, 3, 4)T, b3=(3, 4, 3)T.求由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的過渡矩陣P. 解 設(shè)e1, e2, e3是三維單位坐標向量組, 則 , , 于是 ,由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的過渡矩陣為 . 第六章　線性空間與線性變換 1. 驗證所給矩陣集合對于矩陣的加法和乘數(shù)運算構(gòu)成線性空間, 并寫出各個空間的一個基. (1) 2階矩陣的全體S1。 解 設(shè)A, B分別為二階矩陣, 則A, B206。S1. 因為(A+B)206。S1, kA206。S1,所以S1對于矩陣的加法和乘數(shù)運算構(gòu)成線性空間. , , , 是S1的一個基. (2)主對角線上的元素之和等于0的2階矩陣的全體S2。 解 設(shè), , A, B206。S2. 因為 , , 所以S2對于矩陣的加法和乘數(shù)運算構(gòu)成線性空間. , , 是S2的一個基.