【正文】 的基礎解系為 因此所求矩陣為 5 求一個齊次線性方程組 , 使它的基礎解系為 解 顯然原方程組的通解為 即 消去 得 此即所求的齊 次線性方程組 . 設四元齊次線性方程組 求 方程 I與 II的基礎解系 與 II的公共解 解 (1)由方程 I得 取 得 取得 因此方程 I的 基礎解系為 由方程 II得 取 得 取得 因此方程 II的基礎解系為 與 II的公共解就是方程 I 的解 因為方程組 III的系數矩陣 100 解 對增廣矩陣進行初等行變換 有 所以與方程組 III同解的方程組為 與所給方程組同解的方程為 取 得 方程組 III 的基礎解系為 因此 I與 II的公共解為 設 n階矩陣 A滿足 為 n階單位矩陣 , 證明 證明 因為 所以又 可知 由此 設 A為 n階矩陣 為 A的伴隨陣 證明 當 R(A 當 當 證明 當 時 故有 所以 當 時 故有 即 A*的列向量都是方程組 的解 因為 所以方程組的基礎解系中只含一個解 向量 即基礎解系的秩為 因此 當 時 中每個元素的代數余子式都為 故 從而求下列非齊次方程組的一個解及 對應的齊次線性方程組的基礎解系 當 時 得所給方程組的一個解 與對應的齊次方程組同解的方程為 當 時 得對應的齊次方程組的基礎解系 解 對增 廣矩陣進行初等行變換 有 與所給方程組同解的方程為 當 時 得所給方程組的一個解 與對應的齊次方程組同解的方程為 24 分別取 得對應的齊次方程組的基礎解系 設四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為 已知 是它的三個解向量 且 求該方程組的通解 解 由于方程組中未知數的個數是 系數矩陣的秩為 所以對應的齊次線性方程組的基礎解系含有一個向量 且由于 均為方程組的解 由非齊次線性方程組解的結構性質得 為其基礎解系向量 故此方程組的通解 設有向量組 及 問 為何值時 (1)向量 b不能由向量 組 A線性表示 (2)向量 b能由向量組 A線性表示 且表示式唯一 (3)向量 b能由向量組 A線性表示 且表示式不唯一 并求一般表示式 解 (1)當 時 此時向量 b不能由向量組 A線性表示 (2)當 時 此時向量組 線性無關而向量組 線性相關 故向量 b能由向量組 A線性表示 且表示式唯一 (3)當 時 此時向量 b能由向量組 A線性表示 且表示式不唯一 當 時 ~r 方程組 的解為 因此 即 設 證明三直線 相交于一點的充分必要條件為 向量組 線性無關 且向量組線性相關 證明 三直線相交于一點的充分必要條件為方程組 即 有唯一解 上述方程組可寫為 因此三直線相交于一點的充分必要條件為 c能由 唯一線性表示 而 c能由 唯一線性表示的充分必要條件為向量組 線性無關 且向量組 線性相關 設矩陣 其中 線性無關向量 求方程 的通解 解 由 知 是方程 的一個解由 得 知 是 的一個解 由 a2 線性無關知 故方程 所對應的齊次方程的基礎解系中含一個解向量 因此 是方程 的基礎解系 方程 的通解為 設 是非齊次線性方程組 的一個解是對應的齊次線性方程組的一個基礎解系 , 證明 線性無關線性無關 證明 (1)反證法 , 假設 線性相關 因為線性無關 而線性相關 所以 可由 線性表示 且表示式是唯一的 這說明 也是齊次線性方程組的解 矛盾 (2)顯然向量組 與向量組可以相互表示 故這兩個向量組等價而由 (1)知向量組 線性無關 所以向量組 也線性無關 設 是非齊次線性方程組 的 s 個解為實數 滿足 有 證明 也是它的解 . 證明 因為 都是方程組 的解 所以 從而 因此也是方程的解 設非齊次線性方程組 的系數矩陣的秩為是它的 個線性無關的解 試證它的任一解可表示為 其中 證明 因為 均為 的解 所以均為的解 用反證法證 線性無關 設它們線性相關 則存在不全為零的數 使得 即 亦即 由線性無關知 矛盾 因此 線性無關為 的一個基礎解系 設 x 為 的任意解 則 為 的解 故 可由線性表出 設 令 則于是 設 滿足滿足 問 是不是向量空間？為什么？ 解 V1是向量空間 因為任取 12n 從而 所以 不是向量空間因為任取 有 從而 所以 試證 由 所生成的向量空間就是 R3. 證明 設 由 011 110 知 故 線性無關 所以 是三維空間 R3的一組基 , 因此由 所生成的向量空間就是 R3. 由 所生成的向量空間記作V1,由 所生成的向量空間記作 V2, 試證 證明 設 顯然 又由 1 013 00 知 所以 從而向量組 與向量組 等價 因為向量組 與向量組 等價 所以這兩個向量組所生成的向量空間相同 即 驗證 )T為 R3的一個基 , 并把 用這個基線性表示 . 解 設 由 123 032 知 故 線性無關 所以 為 R3的一個基 . 設 則 解之得 故線性表示為設 則 解之得 故線性表示為已知 R3的兩個基為 求由基到基 的過渡矩陣 解 設 是三維單位坐標向量組 則 于是 由基 到基 的過渡矩陣為 第五章 相似矩陣及二次型 試用施密特法把下列向量組正交化 解 根據施密特正交化方法 [b,a] [b,a] [b,a] 解 根據施密特正交化方法 下列矩陣是不是正交陣 : 11 2 解 此矩陣的第一個行向量非單位向量 , 故不是正交陣 解 該方陣每一個行向量均是單位向量 且兩兩正交 故為正交陣設 x 為 n維列向量 令 證明 H是對稱的正交陣證明 因為 所以 H是對稱矩陣 因為 所以 H是正交矩陣 設 A與 B都是 n階正交陣 證明 AB也是正交陣 證明 因為B是 n階正交陣 故 故 AB也是正交陣 求下列矩陣的特征值和特征向量 : 解 故 A的特征值為 三重 對于特征值 由 得方程 的基礎解系 向量 p1就是對應于特征值 的特征值向量 . 解 故 A 的特征值為 對于特征值由 得方程 的基礎解系 向量 p1 是對應于