【正文】 的基礎(chǔ)解系為 因此所求矩陣為 5 求一個(gè)齊次線性方程組 , 使它的基礎(chǔ)解系為 解 顯然原方程組的通解為 即 消去 得 此即所求的齊 次線性方程組 . 設(shè)四元齊次線性方程組 求 方程 I與 II的基礎(chǔ)解系 與 II的公共解 解 (1)由方程 I得 取 得 取得 因此方程 I的 基礎(chǔ)解系為 由方程 II得 取 得 取得 因此方程 II的基礎(chǔ)解系為 與 II的公共解就是方程 I 的解 因?yàn)榉匠探M III的系數(shù)矩陣 100 解 對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換 有 所以與方程組 III同解的方程組為 與所給方程組同解的方程為 取 得 方程組 III 的基礎(chǔ)解系為 因此 I與 II的公共解為 設(shè) n階矩陣 A滿足 為 n階單位矩陣 , 證明 證明 因?yàn)?所以又 可知 由此 設(shè) A為 n階矩陣 為 A的伴隨陣 證明 當(dāng) R(A 當(dāng) 當(dāng) 證明 當(dāng) 時(shí) 故有 所以 當(dāng) 時(shí) 故有 即 A*的列向量都是方程組 的解 因?yàn)?所以方程組的基礎(chǔ)解系中只含一個(gè)解 向量 即基礎(chǔ)解系的秩為 因此 當(dāng) 時(shí) 中每個(gè)元素的代數(shù)余子式都為 故 從而求下列非齊次方程組的一個(gè)解及 對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 當(dāng) 時(shí) 得所給方程組的一個(gè)解 與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為 當(dāng) 時(shí) 得對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系 解 對增 廣矩陣進(jìn)行初等行變換 有 與所給方程組同解的方程為 當(dāng) 時(shí) 得所給方程組的一個(gè)解 與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為 24 分別取 得對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為 已知 是它的三個(gè)解向量 且 求該方程組的通解 解 由于方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)是 系數(shù)矩陣的秩為 所以對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)向量 且由于 均為方程組的解 由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得 為其基礎(chǔ)解系向量 故此方程組的通解 設(shè)有向量組 及 問 為何值時(shí) (1)向量 b不能由向量 組 A線性表示 (2)向量 b能由向量組 A線性表示 且表示式唯一 (3)向量 b能由向量組 A線性表示 且表示式不唯一 并求一般表示式 解 (1)當(dāng) 時(shí) 此時(shí)向量 b不能由向量組 A線性表示 (2)當(dāng) 時(shí) 此時(shí)向量組 線性無關(guān)而向量組 線性相關(guān) 故向量 b能由向量組 A線性表示 且表示式唯一 (3)當(dāng) 時(shí) 此時(shí)向量 b能由向量組 A線性表示 且表示式不唯一 當(dāng) 時(shí) ~r 方程組 的解為 因此 即 設(shè) 證明三直線 相交于一點(diǎn)的充分必要條件為 向量組 線性無關(guān) 且向量組線性相關(guān) 證明 三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為方程組 即 有唯一解 上述方程組可寫為 因此三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為 c能由 唯一線性表示 而 c能由 唯一線性表示的充分必要條件為向量組 線性無關(guān) 且向量組 線性相關(guān) 設(shè)矩陣 其中 線性無關(guān)向量 求方程 的通解 解 由 知 是方程 的一個(gè)解由 得 知 是 的一個(gè)解 由 a2 線性無關(guān)知 故方程 所對應(yīng)的齊次方程的基礎(chǔ)解系中含一個(gè)解向量 因此 是方程 的基礎(chǔ)解系 方程 的通解為 設(shè) 是非齊次線性方程組 的一個(gè)解是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 , 證明 線性無關(guān)線性無關(guān) 證明 (1)反證法 , 假設(shè) 線性相關(guān) 因?yàn)榫€性無關(guān) 而線性相關(guān) 所以 可由 線性表示 且表示式是唯一的 這說明 也是齊次線性方程組的解 矛盾 (2)顯然向量組 與向量組可以相互表示 故這兩個(gè)向量組等價(jià)而由 (1)知向量組 線性無關(guān) 所以向量組 也線性無關(guān) 設(shè) 是非齊次線性方程組 的 s 個(gè)解為實(shí)數(shù) 滿足 有 證明 也是它的解 . 證明 因?yàn)?都是方程組 的解 所以 從而 因此也是方程的解 設(shè)非齊次線性方程組 的系數(shù)矩陣的秩為是它的 個(gè)線性無關(guān)的解 試證它的任一解可表示為 其中 證明 因?yàn)?均為 的解 所以均為的解 用反證法證 線性無關(guān) 設(shè)它們線性相關(guān) 則存在不全為零的數(shù) 使得 即 亦即 由線性無關(guān)知 矛盾 因此 線性無關(guān)為 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 設(shè) x 為 的任意解 則 為 的解 故 可由線性表出 設(shè) 令 則于是 設(shè) 滿足滿足 問 是不是向量空間？為什么？ 解 V1是向量空間 因?yàn)槿稳? 12n 從而 所以 不是向量空間因?yàn)槿稳? 有 從而 所以 試證 由 所生成的向量空間就是 R3. 證明 設(shè) 由 011 110 知 故 線性無關(guān) 所以 是三維空間 R3的一組基 , 因此由 所生成的向量空間就是 R3. 由 所生成的向量空間記作V1,由 所生成的向量空間記作 V2, 試證 證明 設(shè) 顯然 又由 1 013 00 知 所以 從而向量組 與向量組 等價(jià) 因?yàn)橄蛄拷M 與向量組 等價(jià) 所以這兩個(gè)向量組所生成的向量空間相同 即 驗(yàn)證 )T為 R3的一個(gè)基 , 并把 用這個(gè)基線性表示 . 解 設(shè) 由 123 032 知 故 線性無關(guān) 所以 為 R3的一個(gè)基 . 設(shè) 則 解之得 故線性表示為設(shè) 則 解之得 故線性表示為已知 R3的兩個(gè)基為 求由基到基 的過渡矩陣 解 設(shè) 是三維單位坐標(biāo)向量組 則 于是 由基 到基 的過渡矩陣為 第五章 相似矩陣及二次型 試用施密特法把下列向量組正交化 解 根據(jù)施密特正交化方法 [b,a] [b,a] [b,a] 解 根據(jù)施密特正交化方法 下列矩陣是不是正交陣 : 11 2 解 此矩陣的第一個(gè)行向量非單位向量 , 故不是正交陣 解 該方陣每一個(gè)行向量均是單位向量 且兩兩正交 故為正交陣設(shè) x 為 n維列向量 令 證明 H是對稱的正交陣證明 因?yàn)? 所以 H是對稱矩陣 因?yàn)? 所以 H是正交矩陣 設(shè) A與 B都是 n階正交陣 證明 AB也是正交陣 證明 因?yàn)锽是 n階正交陣 故 故 AB也是正交陣 求下列矩陣的特征值和特征向量 : 解 故 A的特征值為 三重 對于特征值 由 得方程 的基礎(chǔ)解系 向量 p1就是對應(yīng)于特征值 的特征值向量 . 解 故 A 的特征值為 對于特征值由 得方程 的基礎(chǔ)解系 向量 p1 是對應(yīng)于