【正文】 即存在可逆矩陣 P和 使 或 令 則 a是非零列向量 是非零行向量 且 充分性 因?yàn)?a與 bT 是都是非零向量 所以 A是非零矩陣 從而 因?yàn)? 所以 設(shè) A為 矩陣 證明 (1)方程 有解的充分必要條件是 證明 由定理方程 有解的充分必要條件是 而 | Em|是矩陣 的最高階非零子式 故 因此方程 有解的充分必要條件是 (2)方程 有解的充分必要條件是 證明 注意 方程 有解的充分必要條件是 有解 由 (1) 有解的充分必要條件是 因此，方程 有解的充分必要條件是 設(shè) A 為 矩陣 證明 若且 則 證明 由 得 因?yàn)?由定理 方程只有零解 即 也就是 第四章 向量組的線性相關(guān)性 設(shè) 求及 解 T T 設(shè) 求 其中 解 由整理得 6 6 已知向量組 證明 B組能 由 A組線性表示 但 A組不能由 B組線性表示 證明 由 1 知 所以 B組能由 A組線性表示 由 知 因?yàn)?所以 A組不能由 B組線性表示 已知向量組 證明 A組與 B組等價 證明 由 知 顯然在 A 中有二階非零子式 故 又所以 從而知 當(dāng) 、 0、 1 時此時向量組線性相關(guān) 設(shè) 線性無關(guān) 線性相關(guān) 求向量 b用 線性表示的表示式 解 因?yàn)?線性相關(guān) 故存在不全為零的數(shù) 使 因此 A組與 B組等價 已知 證明 (1) a1能由線性表示 不能由 線性表示 證明 (1)由 知 線性無關(guān) 故 也線性無關(guān) 又由 知 線性相關(guān) 故 a1能由線性表示 (2)假如 a4能由 線性表示 則因?yàn)?a1能由 線性表示 故a4能由 線性表示 從而 線性相關(guān) 矛盾 因此 a4不能由 線性表示 判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān) 解 (1)以所給向量為列向量的矩陣記為 因?yàn)? 所以 小于向量的個數(shù) 從而所給向量組線性相關(guān) 以所給向量為列向量的矩陣記為 因?yàn)? 所以 等于向量的個數(shù) 從而所給向量組線 性相無關(guān) 問 a 取什么值時下列向量組線性相關(guān)？ 解 以所給向量為列向量的矩陣記為 由 a11 由此得 2設(shè) c 則 設(shè) 線性相關(guān) 也線性相關(guān) 問 是否一定線性相關(guān)？試舉例說明之 解 不一定 例如 當(dāng) 時 有 而的對應(yīng)分量不成比例 是線性無關(guān)的 舉例說明下列各命題是錯誤的 (1)若向量組 是線性相關(guān)的 則 a1可由線性表示 解 設(shè) 則線性相關(guān) 但 a1不能由 線性表示 (2)若有不全為 0的數(shù) 使 成立 則 線性相關(guān) 亦線性相關(guān) 解 有不全為零的數(shù) 使 原式可化為 取 其中為單位坐標(biāo)向量 則上式成立 而am和 均線性無關(guān) (3)若只有當(dāng) 全為 0時 等式 才能成立 則 線性無關(guān) 亦線性無關(guān) 解 由于只有當(dāng) 全為 0時 等式 由 成立 所以只有當(dāng) 全為 0時 等式 成立 因此 線性無關(guān) 取 取 為線性無關(guān)組 則它們滿足以上條件 但 線性相關(guān) (4)若 線性相關(guān) 亦線性相關(guān)則有不全為 0的數(shù) 使 同時成立 解 與題設(shè)矛盾 設(shè) 證明向量組線性相關(guān) 證明 由已知條件得 于是 a1 從而 這說明向量組 線性相關(guān) 設(shè) 且向量組 線性無關(guān) 證明向量組線性無關(guān) 證明 已知的 r個等式可以寫成 上式記為 因?yàn)?可逆 所以 從而向量組 線性無關(guān) 求下列向量組的秩 , 并求一個最大無關(guān)組 解 由 知 因?yàn)橄蛄?a1與 a2的分量不成比例 故 線性無關(guān) 所以 是一個最大無關(guān)組 解 由 知 因?yàn)橄蛄?a1T與 a2T的分量不成比例 故 線性無關(guān) 所以 是一個最大無關(guān)組 利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組 759453132 25322048 解 因?yàn)? 01 00 所以第 3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組 . 110 4 解 因?yàn)? 1104 0000 所以第 3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組 設(shè)向量組 的秩為 求 解 設(shè)因?yàn)? 而 所以 設(shè) 是一組 n維向量 已知 n維單位坐標(biāo)向量能由它們線性表示 證明 線性無關(guān) 證法一 記 由已知條件知 存在矩陣 使 兩邊取行列式 得 可見 所以 從而 線性無關(guān) 證法二 因?yàn)?能由 線性表示所以 而 所以從而 線性無關(guān) 設(shè) 是一組 n維向量 , 證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是 任一 n維向量都可由它們線性表示 證明 必要性 設(shè) a為任一 n維向量 因?yàn)?a1 線性無關(guān) 而 是 個 n維向量 是線性相關(guān)的 所以 a能由 線性表示 且表示式是唯一的 充分性 已知任一 n維向量都可由 線性表示 故單位坐標(biāo)向量組 能由 線性表示 于是有 即 所以 線性無關(guān) 設(shè)向量組 線性相關(guān) 且 證明存在某個向量 使 ak能由 線性表示 證明 因?yàn)?線性相關(guān) 所以存在不全為零的數(shù)使 而且 不全為零 這是因?yàn)?如若不然 則由 知 矛盾 因此存在 使 于是 即 ak能由 線性表示 設(shè)向量組 能由向量組 線性表示為 其中 K為 矩陣 且 A組線性無關(guān) 證明 B組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣 K的秩 證明 令 則有必要性 設(shè)向量組 B線性無關(guān) 由向量組 B線性無關(guān)及矩陣秩的性質(zhì) 有 及 因此 充分性 因?yàn)?所以存在可逆矩陣 使 為 K 的標(biāo)準(zhǔn)形 于是 因?yàn)?C可逆 所以 從而線性無關(guān) 設(shè) 證明向量組 與向量組 等價 證明 將已知關(guān)系寫成 將上式記為 因?yàn)? 所以 K可逆 故有 由 和 可知向量組與向量組 可相互線性表示 因此向量組 與向量組 等價 已知 3 階矩陣 A 與 3 維列向量 x 滿足 且向量組線性無關(guān) 記 求 3 階矩陣 使解 因?yàn)? 所以 (2)求 解 由 A3 得 因?yàn)? x線性無關(guān) 故 即方程 有非零解 所以 求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 解 對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換 有 于是得 取 得 取得 因此方程組的基礎(chǔ)解系為 解 對系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換 有 于是得 取 得 取得 因此方程組的基礎(chǔ)解系為 解 原方程組即為 取 得 取 得 取 得 因此方程組的基礎(chǔ)解系為 設(shè) , 求一個 矩陣 B, 使 且 解 顯然 B的兩個列向量應(yīng)是方程組 的兩個線性無關(guān)的解 因?yàn)?r 所以與方程組 同解方程組為 取 得 取 得 方程組 的基礎(chǔ)解