【正文】 3 解 2 解 設(shè) 問 嗎 ? 解 因?yàn)? 所以 嗎 ? 解 因?yàn)? 但 所以嗎 ? 解 因?yàn)? 而 故 舉反列說明下列命題是錯(cuò)誤的 若 則解 取 則 但 (2)若 則 或 解 取 則 但 且 (3)若 且 則 解 取 則 且 但 設(shè) 求 解 A2 設(shè) 求 解 首先觀察 Ak 0 用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng) 時(shí) 顯然成立 假設(shè) k時(shí)成立，則時(shí)， 由數(shù)學(xué)歸納法原理知 設(shè) 為 n階矩陣，且 A為對(duì)稱矩陣，證明 BT AB也是對(duì)稱矩陣 證明 因?yàn)?AT 所以 從而 BTAB是對(duì)稱矩陣 設(shè) 都是 n 階對(duì)稱矩陣，證明 AB 是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是證明 充分性 因?yàn)?且 所以 即 AB是對(duì)稱矩陣 必要性 因?yàn)?且 所以 求下列矩陣的逆矩陣 解 故 存在 因?yàn)? 故 1 解 故 存在 因?yàn)? 所以 解 故 存在 因?yàn)? 所以 解 由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知 解下列矩陣方程 解 解 解 解 利用逆矩陣解下列線性方程組 1 解 方程組可表示為 故 從而有 解 方程組可表示為 故 故有 設(shè) Ak 為正整數(shù) 證明 證明 因?yàn)?所以 又因?yàn)? 所以 由定理 2推論知 可逆 且 證明 一方面 有 另一方面 由 有 故 兩端同時(shí)右乘就有 設(shè)方陣 A滿足 證明 A及 都可逆 并求及 證明 由 得 即或 2 由定理 2推論知 A可逆 且 1 2 由 得 A2 即 或 4 由定理 2推論知 可逆 且 1 4 證明 由 得 兩端同時(shí)取行列式得 即 故 所以 A可逆 而 故 也可逆 由 1 2 又由 所以 1 4 設(shè) A為 3階矩陣 1 2 求 解 因?yàn)? 1 |A| 所以 設(shè)矩陣 A 可逆 證明其伴隨陣 A*也可逆 且證明 由 1 |A| 得 所 以 當(dāng) A 可逆時(shí) 有 從而 A*也可逆 因 為 所以 又 所以 設(shè) n階矩陣 A的伴隨矩陣為 證明 若 則證明 (1) 用反證法證明 假設(shè) 則有 由此 得 所以 這與 矛盾，故當(dāng) 時(shí) 有 (2)由于 |A| 則 取行列式得到 若 則 若 由 (1)知 此時(shí)命題也成立 因此 設(shè) 求 解 由 可得 故 設(shè) 且 求 解 由 得 即 001 因?yàn)?所以 可逆 從而 100 設(shè) 求 解 由得 已知矩陣 A的伴隨陣 且 求 解 由 得 由 得 2A 03 60 設(shè) 其中 P 求 解 由 得 所以 11 而 故 A11 設(shè) 其中 求 解 1 |P| 設(shè)矩陣 A、 B及 都可逆 證明 也可逆 并求其逆陣證明 因?yàn)? 而 是三個(gè)可逆矩陣的乘積 所以 可逆即 可逆 計(jì)算 000 解 設(shè) 則 2 而 所以 即 000 取 驗(yàn)證 1 102022 解 010 1 而 故 設(shè) 求 |A8|及 O0 解 令 則 8 故 A8 A4 設(shè) n階矩陣 A及 s階矩陣 B都可逆 求 解 設(shè) 則 由此得 所以 1 解 設(shè) 則 由此得 所以 求下列矩陣的逆陣 005 解 設(shè) 則 于是 2 005 121 解 設(shè) 則 121 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組 把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣 解 下一步 下一步 下一步 下一步 下一步 下一步