【正文】 解 設(shè) ?是特征向量 p所對應(yīng)的特征值 ? 則 (A??E)p?0? 即 ????????????????????????????? ???00011121 35212???ba? 解之得 ???1? a??3? b?0? (2)問 A能不能相似對角化？并說明理由 ? 解 由 3)1(201 335212|| ?????? ?????? ????? EA 得 A的特征值為 1? 2? 3?1 由 ???????? ??????????? ????000 11010111 325211 ~rbEA 知 R(A?E)?2 所以齊次線性方程組 (A?E)x?0的基礎(chǔ)解系只有一個解向量 因此 A不能相似對角化 16? 試求一個正交的相似變換矩陣 , 將下列對稱陣化為對角陣 : (1) ????????? ???020 212022 。 解 此矩陣的第一個行向量非單位向量 , 故不是 正交陣 ? (2)????????????????????979494949198949891? 解 該方陣每一個行向量均是單位向量 ? 且兩兩正交 ? 故為正交陣 ? 3 設(shè) x 為 n 維列向量 xTx?1 令 H?E?2xxT 證明 H 是對稱的正交陣 證明 因為 HT?(E?2xxT)T?E?2(xxT)T?E?2(xxT)T ?E?2(xT)TxT?E?2xxT 所以 H是對稱矩陣 因為 HTH?HH?(E?2xxT)(E?2xxT) ?E?2xxT?2xxT?(2xxT)(2xxT) ?E?4xxT?4x(xTx)xT ?E?4xxT?4xxT ?E 所以 H是正交矩陣 4? 設(shè) A與 B都是 n階正交陣 ? 證明 AB也是正交陣 ? 證明 因為 A B是 n階正交陣 ? 故 A?1?AT B?1?BT (AB)T(AB)?BTATAB?B?1A?1AB?E 故 AB也是正交陣 ? 5? 求下列矩陣的特征值和特征向量 : (1) ?????????? ??201 335212 。 解 將所給矩陣記為 A 由 ?????? ???????20 212022EA ?(1? )( ?4)( ?2) 得矩陣 A的特征值為 1??2 2?1 3?4? 對于 1??2? 解方程 (A?2E)x?0 即 0220 232 024321 ?????????????????? ???xxx 得特征向量 (1 2 2)T 單位化得 T)32 ,32 ,31(1?p 對于 2?1, 解方程 (A?E)x?0 即 74 0120 202 021321 ??????????????????? ???xxx 得特征向量 (2 1 ?2)T 單位化得 T)32 ,31 ,32(2 ??p 對于 3?4, 解方程 (A?4E)x?0 即 0420 232 022321 ??????????????????? ?????xxx 得特征向量 (2 ?2 1)T 單位化得 T)31 ,32 ,32(3 ??p 于是有正交陣 P?(p1 p2 p3) 使 P?1AP?diag(?2 1 4) (2) ?????????? ??542 452222 ? 解 將所給矩陣記為 A 由 ??????? ??????542 452222EA ??( ?1)2( ?10)? 得矩陣 A的特征值為 1? 2?1 3?10? 對于 1? 2?1? 解方程 (A?E)x?0 即 ??????????????????????????? ??000442 442221321xxx 得線性無關(guān)特征向量 (?2 1 0)T和 (2 0 1)T 將它們正交化、單位化得 T0) 1, ,2(511 ??p T5) ,4 ,2(53 12 ?p 對于 3?10, 解方程 (A?10E)x?0 即 ???????????????????????????? ????000542 452228321xxx 得特征向量 (?1 ?2 2)T 單位化得 T)2 ,2 ,1(313 ???p 75 于是有正交陣 P?(p1 p2 p3) 使 P?1AP?diag(1 1 10) 17 設(shè)矩陣 ?????????? ?????124 22421 xA 與???????? ???y45 相似 求 x y 并求一個正交陣 P 使 P?1AP? 解 已知相似矩陣有相同的特征值 顯然 ?5 ??4 ?y是 的特征值 故它們也是 A的特征值 因為 ??4是 A的特征值 所以 0)4(9524 242 425|4| ????? ??? ???? xxEA 解之得 x?4 已知相似矩陣的行列式相同 因為 1 0 0124 242 421|| ???? ??? ???A yy 2045|| ???? 所以 ?20y??100 y?5 對于 ?5 解方程 (A?5E)x?0 得兩個線性無關(guān)的特征向量 (1 0 ?1)T (1 ?2 0)T 將它們正交化、單位化得 T)1 ,0 ,1(211 ??p T)1 ,4 ,1(23 12 ??p 對于 ??4 解方程 (A?4E)x?0 得特征向量 (2 1 2)T 單位化得T)2 ,1 ,2(313 ?p 于是有正交矩陣???????????????????23132212343102313221P 使 P?1AP? 18? 設(shè) 3階方陣 A的特征值為 1?2 2??2 3?1? 對應(yīng)的特征向量依次為 p1?(0 1 1)T p2?(1 1 1)T p3?(1 1 0)T 求 A. 解 令 P?(p1 p2 p3) 則 P?1AP?diag(2 ?2 1)? A?P P?1 因為 76 ????????????????????? ??110 111011011 111110 11P 所以 ??????????????????? ???????????? ?110 111011100 020002011 1111101PPA?????????? ?????244 354331 19 設(shè) 3階對稱陣 A的特征值為 1?1 2??1 3?0 對應(yīng) 2的特征向量依次為 p1?(1 2 2)T p2?(2 1 ?2)T 求 A 解 設(shè) ?????????653542321xxx xxxxxxA 則 Ap1?2p1 Ap2??2p2 即 ???????? ??????222 222122653542321xxx xxxxxx ???① ???????? ????????222 122222653542321xxx