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工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)課后答案__同濟(jì)第五版-展示頁

2025-01-19 02:55本頁面
  

【正文】 ??? 13 12)( Tf 解 二次型的矩陣為 ??????? 13 12A (2) xxx ?????????987 654321)( Tf 解 二次型的矩陣為 ?????????987 654321A 27? 求一個正交變換將下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形 : 82 (1) f?2x12?3x22?3x33?4x2x3 解 二次型的矩陣為 ?????????320 230002A 由 )1)(5)(2(320 230 002 ??????? ????????? EA 得 A的特征值為 1?2 2?5 3?1? 當(dāng) 1?2時 , 解方程 (A?2E)x?0 由 ??????????????????000 100210120 2100002 ~EA 得特征向量 (1 0 0)T 取 p1?(1 0 0)T 當(dāng) 2?5時 ? 解方程 (A?5E)x?0 由 ???????? ??????????????000 110001220 2200035 ~EA 得特征向量 (0 1 1)T 取 T)21 ,21 ,0(2 ?p? 當(dāng) 3?1時 ? 解方程 (A?E)x?0? 由 ??????????????????000 110001220 220001 ~EA 得特征向量 (0 ?1 1)T 取 T)21 ,21 ,0(3 ??p 于是有正交矩陣 T?(p1 p2 p3)和正交變換 x?Ty 使 f?2y12?5y22?y32? (2) f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4 解 二 次型矩陣為???????????????1101111001111011A 由 2)1)(3)(1(1101111001111011?????????????? ???????? EA ? 83 得 A的特征值為 1??1 2?3 3? 4?1? 當(dāng) 1??1時 ? 可得單位特征向量 T)21 ,21 ,21 ,21(1 ???p 當(dāng) 2?3時 ? 可得單位特征向量 T)21 ,21 ,21 ,21(2 ???p 當(dāng) 3? 4?1時 ? 可得線性無關(guān)的單位特征向量 T)0 ,21 ,0 ,21(3 ?p T)21 ,0 ,21 ,0(4 ?p 于是有正交矩陣 T?( p1 p2 p3 p4)和正交變換 x?Ty 使 f??y12?3y22?y32?y42? 28 求一個正交變換把二次曲面的方程 3x2?5y2?5z2?4xy?4xz?10yz?1 化成標(biāo)準(zhǔn)方程 解 二次型的矩陣為 ?????????? ???552 552223A 由 )11)(2(552 552223|| ??????? ?????? ??????? EA 得 A 的特征值為1?2 2?11 3?0 對于 1?2 解方程 (A?2E)x?0 得特征向量 (4 ?1 1)T 單位化得)23 1 ,23 1 ,23 4(1 ??p 對于 2?11 解方程 (A?11E)x?0 得特征向量 (1 2 ?2)T 單位化得 )32 ,32 ,31(2 ??p 對于 3?0 解方程 Ax?0 得特征向量 (0 1 1)T 單位化得)21 ,21 ,0(3 ?p 于是有正交矩陣 P?(p1 p2 p3) 使 P?1AP?diag(2 11 0) 從而有正交變換 84 ???????????????????????????????????wvuzyx21322312132231031234 使原二次方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程 2u2?11v2?1 29? 明 ? 二次型 f?xTAx在 ||x||?1時的最大值為矩陣 A的最大特征值 . 證明 A為實(shí)對稱矩陣 ? 則有一正交矩陣 T? 使得 TAT?1?diag( 1 2 ? ? ? n)?? 成立 其中 1 2 ? ? ? n為 A的特征值 ? 不妨設(shè) 1最大 作正交變換 y?Tx 即 x?TTy 注意到 T?1?TT 有 f?xTAx?yTTATTy?yT?y? 1y12? 2y22? ? ? ? ? nyn2 因?yàn)?y?Tx正交變換 所以當(dāng) ||x||?1時 有 ||y||?||x||?1 即 y12?y22? ? ? ? ?yn2?1 因此 f ? 1y12? 2y22? ? ? ? ? nyn2? 1 又當(dāng) y1?1 y2?y3?? ? ??yn?0時 f ? 1 所以 f max ? 1 30 用配方法化下列二次形成規(guī)范形 并寫出所用變換的矩陣 (1) f(x1 x2 x3)?x12?3x22?5x32?2x1x2?4x1x3 解 f(x1 x2 x3)?x12?3x22?5x32?2x1x2?4x1x3 ?(x1?x2?2x3)2?4x2x3?2x22?x32 ?(x1?x2?2x3)2?2x22?(2x2?x3)2 令 ???????????3232232112 22xxy xyxxxy 即??????????????323223211221225yyxyxyyyx 二次型化為規(guī)范形 f?y12?y22?y32 所用的變換矩陣為 85 ?????????????????12002102251C (2) f(x1 x2 x3)?x12?2x32?2x1x3?2x2x3 解 f(x1 x2 x3)?x12?2x32?2x1x3?2x2x3 ?(x1?x3)2?x32?2x2x3 ?(x1?x3)2?x22?(x2?x3)2 令 ??????????32322311xxy xyxxy 即????????????323223211yyx yxyyyx 二次型化為規(guī)范形 f?y12?y22?y32 所用的變換矩陣為 ???????????110 010111C (3) f(x1 x2 x3)?2x12?x22?4x32?2x1x2?2x2x3 解 f(x1 x2 x3)?2x12?x22?4x32?2x1x2?2x2x3 322322221 2421)21(2 xxxxxx ????? 23232221 2)2(21)21(2 xxxxx ????? 令 ????????????333222112)2(21)21(2xyxxyxxy 即?????????????33322321121222212121yxyyxyyyx 二次型化為規(guī)范形 f?y12?y22?y32 所用的變換矩陣為 86 ???????? ???100 22011121C 31 設(shè) f?x12?x22?5x32?2ax1x2?2x1x3?4x2x3 為正定二次型 求 a 解 二次型的矩陣為 ????????
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