【正文】 由 A2?A?2E?O 得 A2?A?6E??4E 即 (A?2E)(A?3E)??4E 或 EAEEA ???? )3(41)2( 由定理 2 推論知 (A?2E)可逆 且 )3(41)2( 1 AEEA ??? ? 證明 由 A2?A?2E?O 得 A2?A?2E 兩端同時(shí)取行列式得 |A2?A|?2 即 |A||A?E|?2? 故 |A| 0 所以 A 可逆 ? 而 A?2E?A2 |A?2E|?|A2|?|A|2?0 故 A?2E 也可逆 ? 由 A2?A?2E?O ?A(A?E)?2E ?A?1A(A?E)?2A?1E? )(211 EAA ??? 又由 A2?A?2E?O?(A?2E)A?3(A?2E)??4E ? (A?2E)(A?3E)??4 E 所以 (A?2E)?1(A?2E)(A?3E)??4(A?2 E)?1 )3(41)2( 1 AEEA ??? ? 16? 設(shè) A 為 3 階矩陣 ? 21|| ?A ? 求 |(2A)?1?5A*|? 解 因?yàn)?*||11 AAA ?? ? 所以 |||521||*5)2(| 111 ??? ??? AAAAA |2521| 11 ?? ?? AA ?|?2A?1|?(?2)3|A?1|??8|A|?1??8?2??16? 17? 設(shè)矩陣 A 可逆 ? 證明其伴隨陣 A* 也可逆 ? 且(A*)?1?(A?1)*? 證明 由 *||11 AAA ?? ? 得 A*?|A|A?1? 所以當(dāng) A 可逆時(shí) 有 |A*|?|A|n|A?1|?|A|n?1?0? 從而 A*也可逆 ? 因?yàn)?A*?|A|A?1? 所以 (A*)?1?|A|?1A 又 *)(||)*(|| 1 111 ??? ?? AAAAA 所以 (A*)?1?|A|?1A?|A|?1|A|(A?1)*?(A?1)* 18? 設(shè) n 階矩陣 A 的伴隨矩陣為 A* 證明 ? (1)若 |A|?0? 則 |A*|?0? (2)|A*|?|A|n?1 證明 (1)用反證法證明 ? 假設(shè) |A*|?0 則有 A*(A*)?1?E 由此得 A?A A*(A*)?1?|A|E(A*)?1?O 所以 A*?O 這與 |A*|?0 矛盾，故當(dāng) |A|?0 時(shí) 有 |A*|?0 (2)由于 *||11 AAA ?? ? 則 AA*?|A|E 取行列式得到 |A||A*|?|A|n 若 |A|?0 則 |A*|?|A|n?1 若 |A|?0 由 (1)知 |A*|?0 此時(shí)命題也成立 因此 |A*|?|A|n?1 19? 設(shè) ?????????? 321 011330A ? AB?A?2B 求 B? 解 由 AB?A?2E 可得 (A?2E)B?A 故 ?????????????????? ????? ??321 011330121 011332)2( 11 AEAB??????????011 321330 20 設(shè) ?????????101 020101A 且 AB?E?A2?B 求 B 解 由 AB?E?A2?B 得 (A?E)B?A2?E 即 (A?E)B?(A?E)(A?E) 因?yàn)?01001 010100|| ????? EA 所以 (A?E)可逆 從而 ???????????201 030102EAB 21 設(shè) A?diag(1 ?2 1) A*BA?2BA?8E 求 B 解 由 A*BA?2BA?8E 得 (A*?2E)BA??8E B??8(A*?2E)?1A?1 ??8[A(A*?2E)]?1 ??8(AA*?2A)?1 ??8(|A|E?2A)?1 ??8(?2E?2A)?1 ?4(E?A)?1 ?4[diag(2 ?1 2)]?1 )21 ,1 ,21(di ag4 ?? ?2diag(1 ?2 1) 22 已知矩陣 A 的伴隨陣????????????8030010100100001*A 且 ABA?1?BA?1?3E 求 B 解 由 |A*|?|A|3?8 得 |A|?2 由 ABA?1?BA?1?3E 得 AB?B?3A B?3(A?E)?1A?3[A(E?A?1)]?1A 11 *)2(6*)21(3 ?? ???? AEAE ??????????????????????????1030060600600006603001010010000161 23? 設(shè) P?1AP??? 其中 ?????? ??? 11 41P ? ????????? 20 01 ? 求 A11? 解 由 P?1AP??? 得 A?P?P?1 所以 A11? A=P?11P?1. |P|?3 ???????? 11 41*P ?????? ???? 11 41311P 而 ????????????????? 111111 20 0120 01 故 ?????????????????? ??????? ???3131 3431200111411111A ?????? ??? 684683 27322731 24 設(shè) AP?P? 其中 ????????? ?? 111 201111P ???????????511 求 (A)?A8(5E?6A?A2) 解 (?)??8(5E?6???2) ?diag(1 1 58)[diag(5 5 5)?diag(?6 630)?diag(1 1 25)] ?diag(1 1 58)diag(12 0 0)?12diag(1 0 0) (A)?P (?)P?1 *)(|| 1 PPP ?? ? ??????????????????????????????? ??? 121 303222000 000001111 2011112 ?????????111 1111114 25 設(shè)矩陣 A、 B 及 A?B 都可逆 證明 A?1?B?1也可逆 并求其逆陣 證明 因?yàn)? A?1(A?B)B?1?B?1?A?1?A?1?B?1 而 A?1(A?B)B?1 是三個(gè)可逆矩陣的乘積 所 以 A?1(A?B)B?1 可逆 即 A?1?B?1可逆 (A?1?B?1)?1?[A?1(A?B)B?1]?1?B(A?B)?1A 26 計(jì)算???????????????????????30003200121013013000120010100121 解 設(shè) ??????? 10 211A ??????? 30 122A ?????? ?? 12 131B ?????? ??? 30 322B 則 ???????????? 2121 BO BEAO EA ?????? ?? 22 2111 BAO BBAA 而 ?????? ???????? ????????? ????????? 42 2530 3212 1310 21211 BBA ?????? ????????? ????????? 90 3430 3230 1222 BA 所以 ???????????? 2121 BO BEAO EA ?????? ?? 22 2111 BAO BBAA ??????????????9000340042102521 即 ???????????????????????30003200121013013000120010100121??????????????903404102521 27? 取 ??????????? 10 01DCBA ? 驗(yàn)證 |||| |||| DC BADC BA ? 解 410 0120 0210100101002000021010010110100101????????DCBA 而 011 11|||| |||| ??DC BA 故 |||| |||| DC BADC BA ? 28? 設(shè)?????????? ??22023443OOA ? 求 |A8|及 A4 解 令 ?????? ?? 34 431A ??????? 22 022A 則 ??????? 21 AO OAA 故 8218 ??????? AO OAA ??????? 8281 AO OA 16828182818 10|||||||||| ??? AAAAA ??????????????????464444241422025005OOAOOAA 29? 設(shè) n 階矩陣 A 及 s 階矩陣 B 都可逆 ? 求 (1) 1??????? OB AO 解 設(shè) ??????????????43211 CC CCOB AO 則 ?????? OB AO ?????? 43 21 CC CC ?????????????? sn EO OEBCBC ACAC 21 43 由此得 ?????????snEBCOBCOACEAC2143???????????121413BCOCOCAC 所以 ???????????????? OA BOOB AO111 ? (2) 1??????? BC OA 解 設(shè) ??????????????43211 DD DDBC OA 則 ????????????? ??????????????? sn EO OEBDCDBDCD ADADDD DDBC OA 4231 2143 21 由此得 ???????????snEBDCDOBDCDOADEAD423121???????????????14113211BDCABDODAD 所以 ?????? ?????????????11111 BCAB OABC OA 30 求下列矩陣的逆陣 (1)??????????2500380000120025