【正文】 因為 解 (2)(A+B)2=A2+2AB+B2 嗎 因為 但 A2 + 2 AB + 所以 (A+B)2≠A2+2AB+B2. 成都大學(xué)詩葉子制作 21 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 (3)(A+B)(A?B)=A2?B2 嗎 ? 解 (A+B)(A?B)≠A2?B2. 因為 而 故 (A+B)(A?B)≠A2?B2. 6. 舉反列說明下列命題是錯誤的 : (1)若 A2=0, 則 A=0。 1 令 D=0, 得 181。 ? 181。 取何值時 , 齊次線性方程組 x2 + x3 = 0 有非 零解？ 解 系數(shù)行列式為 λ 1 1 D = 1 181。 ?? dn an ?? ?? (4) D2n = a1 b1 c1 d1 解 an D2n = ?? ?? ? ? ? ?? ? bn (按第 1 行展開 ) dn a1 b1 c1 d1 ?? an?1 = an ?1 0 ?? ?? ? ? a1 b1 c1 d1 L ? ?? ? bn?1 0 ?? dn?1 0 0 dn 成都大學(xué)詩葉子制作 12 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 0 an?1 + (?1)2n+1bn ?1 ?? ? ? ? ?? ? bn?1 ?? a1 b1 c1 d 1 ?? . d n?1 0 再按 最后一行 展開得 遞推公式 D2n=andnD2n?2?bnD2n?2, 即 D2n=(andn?bn)D2n?2. 于是 而 所以 D2n = ∏(aidi ? bici )D2 . i =2 n D2 = a1 b1 = a d ?b c , c1 d1 1 1 1 1 n i =1 D2n = ∏ (aidi ? bici ) . (5) D=det(aij), 其中 aij=|i?j|。 x 成都大學(xué)詩葉子制作 10 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 解 將第一行乘 (?1)分別加到其余各行 , 得 x a a a? x x?a 0 Dn = a ? x 0 x ? a ??? ??? ??? a?x 0 0 ??? a ??? 0 ??? 0 , ??? ??? 0 x?a 再將各列都加到第一列上 , 得 x + (n ?1)a a a 0 x?a 0 Dn = 0 0 x ?a ??? ??? ??? 0 0 0 ??? a ??? 0 n?1 ? ? ? 0 =[x+(n?1)a](x?a) . ??? ??? 0 x?a an (a ?1)n an?1 (a ?1)n?1 (3) Dn+1 = ? ? ? ? ? ? a a ?1 1 1 解 ? ? ? (a ? n)n ? ? ? (a ? n)n?1 。、或依副對角線翻轉(zhuǎn) , 依次得 an1 ? ? ? ann D1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , a11 ? ? ? a1n a1n ? ? ? ann ann ? ? ? a1n D2 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , D3 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? , a11 ? ? ? an1 an1 ? ? ? a11 證明 D1 = D2 = (?1) 證明 n(n ?1) 2 D , D3=D . ??? ??? ??? ??? 因為 D=det(aij), 所以 a11 an1 ? ? ? ann D1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = (?1)n ?1 an1 ??? a11 ? ? ? a1n a21 a11 a21 n ?1 n ?2 = (?1) (?1) an1 ??? a31 ??? ??? ??? ??? ??? a1n ann ??? a2n a1n a2n ann = ? ? ? ??? a3n n(n ?1) 2 = (?1)1+ 2+? ? ?+(n ?2)+(n?1) D = (?1) D. 同理可證 D2 = (?1) n(n ?1) 2 a11 ? ? ? an1 n(n ?1) n(n ?1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? = (?1) 2 DT = (?1) 2 D . a1n ? ? ? ann 成都大學(xué)詩葉子制作 9 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 D3 = (?1) n(n ?1) 2 D2 = (?1) n(n ?1) 2 (?1) n(n ?1) 2 D = (?1)n(n?1) D = D . 7. 計算下列各行列式 (Dk 為 k 階行列式 ): (1) Dn = a 1 ?? 1 ? a , 其中對角線上元素都是 a, 未寫出的元素 都是 0。 (c + 3)2 (d + 3)2 (a + 3)2 (b + 3)2 (c ?c , c ?c , c ?c 得 ) (c + 3)2 4 3 3 2 2 1 (d + 3)2 a2 b2 (3) 2 c d2 證明 a2 b2 c2 d2 (a +1)2 (b +1)2 (c +1)2 (d +1)2 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2 a2 2 = b2 c d2 a2 2 = b2 c d2 1 a (4) a 2 a4 1 b b2 b4 2a +1 2b +1 2c +1 2d +1 2a +1 2b +1 2c +1 2d +1 1 c c2 c4 1 d d2 d4 2a + 3 2b + 3 2c + 3 2d + 3 2 2 2 2 2a + 5 2b + 5 (c ?c , c ?c 得 ) 2c + 5 4 3 3 2 2d + 5 2 2 =0 . 2 2 =(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a+b+c+d)。 1 1 1 證明 成都大學(xué)詩葉子制作 5 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 a2 ab b2 c2 ? c1 a2 ab ? a2 b2 ? a2 2a a + b 2b ===== 2a b ? a 2b ? 2a 0 0 1 1 1 c3 ? c1 1 = (?1)3+1 ab ? a b?a 2 b2 ? a2 = (b ? a)(b ? a) a b + a =(a?b)3 . 1 2 2b ? 2a ax + by ay + bz az + bx x y z 3 3 (2) ay + bz az + bx ax + by = (a + b ) y z x 。 2 2 4 2 3 6 1 c4 ? c2 2 1 ===== 3 2 1 2 5 1 ?1 2 0 4 2 3 6 0 r4 ? r2 2 2 ===== 3 1 0 2 2 解 1 ?1 2 0 1 ?1 2 1 4 2 3 4 0 2 0 0 r4 ? r1 2 3 ===== 1 0 1 ?1 2 0 4 2 3 0 0 2 0 =0 . 0 成都大學(xué)詩葉子制作 4 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案 全集 同濟版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答 案全集 ? ab ac ae (3) bd ? cd de 。 成 都大學(xué)詩葉子制作 2 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第五版答案全集 解 逆序數(shù)為 3 2 (1 個 ) 5 2, 5 4(2 個 ) 7 2, 7 4, 7 6(3 個 ) ?????? (2n?1)2, (2n?1)4, (2n?1)6, ? ? ?, (2n?1)(2n?2) (n?1 個 ) (6)1