【正文】 A?E)x?0 得特征向量 p1?(q p)T 對于 1?r 解方程 (A?rE)x?0 得特征向量 p2?(?1 1)T 令 ?????? ??? 11) ,(21 pqP pp 則 P?1AP?diag(1 r)?? A?P?P?1 An?P?nP?1 于是 1110 0111 ??????? ????????????? ?? pqrpqA nn ??????????????????? ??? qprpqqpn 110 01111 ?????? ?? ???? nnnn qrpprp qrqprqqp 1 80 ???????????? ?? ?????????? nnnnnn qrpprp qrqprqqpyx ?????? ?? ???? nnrpqp rqpqqp )(2 )(2)(2 1 24? (1)設(shè) ??????? ?? 32 23A ? 求 (A)?A10?5A9 解 由 )5)(1(32 23|| ????? ???? ????? EA 得 A的特征值為 1?1 2?5 對于 1?1 解方程 (A?E)x?0 得單位特征向量 T)1 ,1(21 對于 1?5 解方程 (A?5E)x?0 得單位特征向量 T)1 ,1(21 ? 于是有正交矩陣 ?????? ?? 11 1121P 使得 P?1AP?diag(1 5)?? 從而 A?P?P?1 Ak?P?kP?1 因此 (A)?P (?)P?1?P(?10?5?9)P?1 ?P[diag(1 510)?5diag(1 59)]P?1 ?Pdiag(?4 0)P?1 ???????????????????? ?? 11 112100 0411 1121 ?????????????? ?? ??? 11 11222 22 ? (2)設(shè) ?????????122 221212A , 求 (A)?A10?6A9?5A8 解 求得正交矩陣為 ??????????? ??? 202 231 23161P 使得 P?1AP?diag(?1 1 5)?? A?P?P?1 于是 (A)?P (?)P?1?P(?10?6?9?5?8)P?1 81 ?P[?8(??E)(??5E)]P?1 ?Pdiag(1 1 58)diag(?2 0 4)diag(?6 ?4 0)P?1 ?Pdiag(12 0 0)P?1 ???????? ? ????????????????????? ??? 222 033 2110012202 231 23161 ?????????? ???422 2112112 ? 25? 用矩陣記號表示下列二次型 : (1) f?x2?4xy?4y2?2xz?z2?4yz 解 ?????????????????zyxzyxf121 242121) , ,( ? (2) f?x2?y2?7z2?2xy?4xz?4yz 解 ??????????????????? ?????zyxzyxf722 211211) , ,( ? (3) f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x3?4x2x4 解 ???????????????????????????432143211021013223111211) , , ,(xxxxxxxxf ? 26 寫出下列二次型的矩陣 (1) xxx ??????? 13 12)( Tf 解 二次型的矩陣為 ??????? 13 12A (2) xxx ?????????987 654321)( Tf 解 二次型的矩陣為 ?????????987 654321A 27? 求一個正交變換將下列二次型化成標準形 : 82 (1) f?2x12?3x22?3x33?4x2x3 解 二次型的矩陣為 ?????????320 230002A 由 )1)(5)(2(320 230 002 ??????? ????????? EA 得 A的特征值為 1?2 2?5 3?1? 當 1?2時 , 解方程 (A?2E)x?0 由 ??????????????????000 100210120 2100002 ~EA 得特征向量 (1 0 0)T 取 p1?(1 0 0)T 當 2?5時 ? 解方程 (A?5E)x?0 由 ???????? ??????????????000 110001220 2200035 ~EA 得特征向量 (0 1 1)T 取 T)21 ,21 ,0(2 ?p? 當 3?1時 ? 解方程 (A?E)x?0? 由 ??????????????????000 110001220 220001 ~EA 得特征向量 (0 ?1 1)T 取 T)21 ,21 ,0(3 ??p 于是有正交矩陣 T?(p1 p2 p3)和正交變換 x?Ty 使 f?2y12?5y22?y32? (2) f?x12?x22?x32?x42?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4 解 二 次型矩陣為???????????????1101111001111011A 由 2)1)(3)(1(1101111001111011?????????????? ???????? EA ? 83 得 A的特征值為 1??1 2?3 3? 4?1? 當 1??1時 ? 可得單位特征向量 T)21 ,21 ,21 ,21(1 ???p 當 2?3時 ? 可得單位特征向量 T)21 ,21 ,21 ,21(2 ???p 當 3? 4?1時 ? 可得線性無關(guān)的單位特征向量 T)0 ,21 ,0 ,21(3 ?p T)21 ,0 ,21 ,0(4 ?p 于是有正交矩陣 T?( p1 p2 p3 p4)和正交變換 x?Ty 使 f??y12?3y22?y32?y42? 28 求一個正交變換把二次曲面的方程 3x2?5y2?5z2?4xy?4xz?10yz?1 化成標準方程 解 二次型的矩陣為 ?????????? ???552 552223A 由 )11)(2(552 552223|| ??????? ?????? ??????? EA 得 A 的特征值為1?2 2?11 3?0 對于 1?2 解方程 (A?2E)x?0 得特征向量 (4 ?1 1)T 單位化得)23 1 ,23 1 ,23 4(1 ??p 對于 2?11 解方程 (A?11E)x?0 得特征向量 (1 2 ?2)T 單位化得 )32 ,32 ,31(2 ??p 對于 3?0 解方程 Ax?0 得特征向量 (0 1 1)T 單位化得)21 ,21 ,0(3 ?p 于是有正交矩陣 P?(p1 p2 p3) 使 P?1AP?diag(2 11 0) 從而有正交變換