【正文】 由 ???????? ??????????? ????000 11010111 325211 ~rbEA 知 R(A?E)?2 所以齊次線性方程組 (A?E)x?0的基礎(chǔ)解系只有一個解向量 因此 A不能相似對角化 16? 試求一個正交的相似變換矩陣 , 將下列對稱陣化為對角陣 : (1) ????????? ???020 212022 。 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 第五章 相似矩陣及二次型 1? 試用施密特法把下列向量組正交化 ? (1) ?????????931 421111) , ,(321 aaa? 解 根據(jù)施密特正交化方法 ??????????11111 ab? ????????????101],[],[111 2122 bbbabab ? ?????????????12131],[],[],[],[222 32111 3133 bbbabbbbabab (2)??????????????011101110111) , ,( 321 aaa 解 根據(jù)施密特正交化方法 ?????????????110111 ab ??????????????123131],[],[1112122 bbbabab ???????????????433151],[],[],[],[222321113133 bbbabbbbabab 2? 下列矩陣是不是正交陣 : 68 (1)?????????????????121312112131211。 解 將所給矩陣記為 A 由 ?????? ???????20 212022EA ?(1? )( ?4)( ?2) 得矩陣 A的特征值為 1??2 2?1 3?4? 對于 1??2? 解方程 (A?2E)x?0 即 0220 232 024321 ?????????????????? ???xxx 得特征向量 (1 2 2)T 單位化得 T)32 ,32 ,31(1?p 對于 2?1, 解方程 (A?E)x?0 即 74 0120 202 021321 ??????????????????? ???xxx 得特征向量 (2 1 ?2)T 單位化得 T)32 ,31 ,32(2 ??p 對于 3?4, 解方程 (A?4E)x?0 即 0420 232 022321 ??????????????????? ?????xxx 得特征向量 (2 ?2 1)T 單位化得 T)31 ,32 ,32(3 ??p 于是有正交陣 P?(p1 p2 p3) 使 P?1AP?diag(?2 1 4) (2) ?????????? ??542 452222 ? 解 將所給矩陣記為 A 由 ??????? ??????542 452222EA ??( ?1)2( ?10)? 得矩陣 A的特征值為 1? 2?1 3?10? 對于 1? 2?1? 解方程 (A?E)x?0 即 ??????????????????????????? ??000442 442221321xxx 得線性無關(guān)特征向量 (?2 1 0)T和 (2 0 1)T 將它們正交化、單位化得 T0) 1, ,2(511 ??p T5) ,4 ,2(53 12 ?p 對于 3?10, 解方程 (A?10E)x?0 即 ???????????????????????????? ????000542 452228321xxx 得特征向量 (?1 ?2 2)T 單位化得 T)2 ,2 ,1(313 ???p 75 于是有正交陣 P?(p1 p2 p3) 使 P?1AP?diag(1 1 10) 17 設(shè)矩陣 ?????????? ?????124 22421 xA 與???????? ???y45 相似 求 x y 并求一個正交陣 P 使 P?1AP? 解 已知相似矩陣有相同的特征值 顯然 ?5 ??4 ?y是 的特征值 故它們也是 A的特征值 因為 ??4是 A的特征值 所以 0)4(9524 242 425|4| ????? ??? ???? xxEA 解之得 x?4 已知相似矩陣的行列式相同 因為 1 0 0124 242 421|| ???? ??? ???A yy 2045|| ???? 所以 ?20y??100 y?5 對于 ?5 解方程 (A?5E)x?0 得兩個線性無關(guān)的特征向量 (1 0 ?1)T (1 ?2 0)T 將它們正交化、單位化得 T)1 ,0 ,1(211 ??p T)1 ,4 ,1(23 12 ??p 對于 ??4 解方程 (A?4E)x?0 得特征向量 (2 1 2)T 單位化得T)2 ,1 ,2(313 ?p 于是有正交矩陣???????????????????2