【正文】 明： 121( 1 )2000k k kkkkkkkkk? ? ??????????????A= . 【解】2 3 22 2 3 3 2232 1 3 30 2 , 0 3 .0 0 0 0? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?A = A = 今歸納假設(shè) 121( 1 )2000k k kkkkkkkkk? ? ??????????????A= 那么 11211111( 1 )1020100000( 1 )( 1 )2,0 ( 1 )00kkk k kkkkk k kkkkkkkkkkkk?? ? ??????? ? ????????????????????????????????????????????A A A= 所以，對(duì)于一切自然數(shù) k,都有 121( 1 )2 .000k k kkkkkkkkk? ? ??????????????A= 6. 已知 AP=PB ，其中 1 0 0 1 0 00 0 0 2 1 00 0 1 2 1 1? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?B = , P = 求 A 及 5A . 【解】因?yàn)?|P|= ?1≠ 0,故由 AP=PB,得 11 0 02 0 0 ,6 1 1???????????A PBP 而 5 1 5 5 1( ) ( )1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 02 1 0 0 0 0 2 1 0 2 0 0 .2 1 1 0 0 1 4 1 1 6 1 1????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?A PB P P B PA 7. 設(shè)a b c db a d cc d a bd c b a??????????????A= ，求 |A |. 解 ：由已知條件， A 的伴隨矩陣為 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c db a d ca b c d a b c dc d a bd c b a???????? ? ? ? ? ? ? ? ?????????A = A 又因?yàn)??A A= A E ，所以有 2 2 2 2 2()a b c d? ? ? ? A = A E，且 0?A ， 即 42 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) ( )a b c d a b c d? ? ? ? ? ? ?A = A A = A E 于是有 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a b c d? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A . 8. 已知線性變換 1 1 2 1 1 22 1 2 3 2 1 33 1 2 3 3 2 32 , 3 ,2 3 2 , 2 ,4 5 。 (4) 332 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3 11( ) ( ) ( ) i j i jija x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (5) 11 12 12 1321 22 22 2331 32 32 33a a a aa a a aa a a a?????????。( 2 ) 2 4 8 3 。 36 。 21 0 1 1 0 1 1 1( 3 ) ( 1 ) 11 1 0 1 100 1 0 11。 1)= 0+1+2 +… +(n?1)= ( 1)2nn? 。線性代數(shù)習(xí)題及答案 習(xí)題一 1. 求下列各排列的逆序數(shù) . (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n(n?1)… 321； (4) 13… (2n?1)(2n)(2n?2)… 2. 【解】 (1) τ (341782659)=11。 2178。 (2) 1 1 1 41 1 1111D a b c d e f a b c d e f??? ? ??????。1 2 1 0 5 21 2 1 1 0 1 2 1 1 2 3 0 1 40 1 2 3 0 1 2 3D? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?????? 12345 1 1 0 1 5 1 01 1 1 1 2 1 1 118 。(1 ) 4 。 (3) (10)。4 0 00 2 4??????????A B A (2) 4 4 0。 (?B)=B2。 (?B)= ?(AB+BA). 所以 B2 是對(duì)稱矩陣， AB?BA 是對(duì)稱矩陣， AB+BA 是反 對(duì)稱矩陣 . 12. 求與 A= 1101??????可交換的全體二階矩陣 . 【 解 】設(shè)與 A 可交換的方陣為 abcd??????,則由 1101??????abcd??????= abcd??????1101??????, 得 a c b d a a bc d c c d? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?. 由對(duì)應(yīng)元素相等得 c=0,d=a,即與 A 可交換的方 陣為一切形如0aba??????的方陣，其中 a,b為任意數(shù) . 13. 求與 A= 1 0 00 1 20 1 2???????可交換的全體三階矩陣 . 【 解 】由于 A=E+ 0 0 00 0 20 1 3???????, 而且由 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 23 3 3 3 3 30 0 0 0 0 0,0 0 2 0 0 20 1 3 0 1 3a b c a b ca b c a b ca b c a b c? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 可得 1 1 12 2 2 3 3 33 3 3 2 3 2 3 2 30 2 3 0 0 00 2 3 2 2 2 .0 2 3 3 3 3c b cc b c a b cc b c a a b b c c?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 由此又可得 1 1 1 3 2 32 3 3 2 3 2 2 33 3 2 30 , 2 3 0 , 2 0 , 3 0 ,2 , 3 , 2 3 2 ,2 3 3 ,c b c a a ac b c b b b c cb c c c? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 所以 2 3 1 1 2 3 3 2 30 , 2 , 3 .a a b c c b c b b? ? ? ? ? ? ? 即 與 A 可交換的一切方陣為 1233 2 3000203abbb b b???????其中 1 2 3,a b b 為任意數(shù) . 14. 求下列矩陣的逆矩陣 . (1) 1225??????； (2) 1 2 30 1 2001????????； (3) 1 2 13 4 25 4 1??????????； (4) 1 0 0 01 2 0 02 1 3 01 2 1 4????????； (5) 5 2 0 02 1 0 00 0 8 30 0 5 2????????； (6) ? ?1212, , , 0nnaa a a aa?????????， 未寫出的元素都是 0（以下均同，不另注） . 【解】 (1) 5221????????。 (5) 1 2 0 02 5 0 00 0 2 30 0 5 8????????????。 |B|(AB) *. ∵ |A|≠ 0,|B|≠ 0, ∴ (AB) *=B*A*. (2) 由于 AA*=|A|E,故 A*=|A|A?1,從而 (A?1) *=|A?1|(A?1)?1=|A|?1A. 于 是 A* (A?1) *=|A|A?1178。 (4) X= 2 1 0 .0 3 41 0 2????????? 19. 若 kA=O (k為正整數(shù) )，證明： 1 2 1() k???E A = E + A + A + + A. 【證明】作乘法 212 1 2 1( ) ( )kk k kk????? ? ? ? ? ?? ? ?E A E + A + A + + AE + A + A + + A A A A AE A E , 從而 E?A 可逆，且 1 2 1() k???E A = E + A + A + + A A 滿足 A2－ A－ 2E＝ O，證明 A 及 A＋ 2E 都可逆，并求 A?1 及 (A+2E)?1. 【證】因?yàn)?A2?A?2E=0, 故 2 12 ( ) .2? ? ? ? ?A A E A E A E 由此可知， A 可逆，且 1 1 ( ).2? ??A A E 同樣地 222 0 ,64( 3 ) ( 2 ) 41 ( 3 ) ( 2 )4? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?A A EA A E E ,A E A E E ,A E A E E . 由此知， A+2E 可逆，且 1211( 2 ) ( 3 ) ( ) .44?? ? ? ? ? ?A E A E A E 21. 設(shè) 4 2 31 1 01 2 3?????????A= ， 2AB = A+ B ,求 B . 【解】由 AB=A+2B 得 (A?2E)B=A. 而 2 2 31 0 ,1 1 021 2 1? ? ? ????AE 即 A?2E 可逆，故 112 2 3 4 2 3( 2 ) 1 1 0 1 1 01 2 1 1 2 31 4 3 4 2 3 3 8 6.1 5 3 1 1 0 2 9 61 6 4 1 2 3 2 12 9??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?B A E A 22. 設(shè) 1?P AP =? . 其中 1411????????P=， 1002???????=?， 求 10A . 【解】因 1?P 可逆，且 1 141 ,113? ??? ??????P故由 1? ?A= P P 得 10 1 10 10 1101012 1210 10( ) ( )141 4 1 0 331 1 0 2 1 133141 4 1 0 331 1 0 2 1 1331365 13641 2 4 21.341 3403 1 2 4 2????????? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ? ??????????????? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ? ??????????? ? ? ? ?????? ?????? ????A P P P P?? 23. 設(shè) m 次多項(xiàng)式 01() mmf x a a x a x? ? ? ?，記 01() mmf a a a? ? ? ?A E A A, ()f A稱為方陣 A 的 m 次多項(xiàng)式 . (1) 12? ???????A=， 證明 12kkk? ???????A=， 12()() ()ff f? ???? ??