【文章內(nèi)容簡介】 εn ?1 n ?1ε10 101證明 因為? ε0,N [1 +lg ] , 當?nN 時, 有| 9 ?1| ε , 所以 lim 9 1 n → ∞εn 個 4. lim u a , 證明 lim |u | |a|并舉例說 明: 如果數(shù)列|x | 有極限, 但數(shù)列x 未必有n nn nn → ∞ n → ∞極限 證明 因為 lim u a , 所以? ε0, ?N ∈N, 當 nN 時, 有|u ?a| ε , 從而 n nn → ∞||u | ?|a|| ≤|u ?a| ε n n這就證明了 lim|u | |a|nn → ∞n n 數(shù)列|x | 有極限, 但數(shù)列x 未必有極限. 例如 lim| ?1 | 1, 但 lim ?1 不存在n nn → ∞ n → ∞ 5. 設數(shù) 列x 有界, 又 lim y 0 , 證明: lim x y 0nn n nn → ∞ n → ∞ 證明 因 為數(shù)列x 有界, 所以存在M, 使?n ∈Z, 有|x | ≤Mn nε 又 lim y 0 , 所以ε0, ?N ∈N, 當 nN 時, 有| y | 從而當 nN 時, 有 n nn → ∞Mε |x y ?0| |x y | ≤M | y | M ε ,n n n n nM所以 lim x y 0n nn → ∞ 6. 對于 數(shù)列x 若x →a k →∞, x →a k →∞, 證明: x →a n →∞n 2k 2k +1 n 證明 因為x →a k →∞, x →a k →∞, 所以ε0,2k 2k +1?K , 當 2k2K 時, 有| x ?a | ε 。1 1 2kK , ?當 2k+12K +1 時, 有| x ?a | ε 2 2 2k+1取N 2K , 2K +1, 只要nN, 就有|x ?a | ε因此x →a n →∞1 2 n n 習題 1 ?31. 根據(jù) 函數(shù)極限的定義證明: 1 lim3x ?1 8。x →3 2 lim5x +2 12。 x →22x ?4 3 lim ?4。 x → ?2x +231 ?4x 4 lim 2 1x →2x +121 證明 1 分析 |3x ?1 ?8| |3x ?9| 3|x ?3|, 要使|3x ?1 ?8| ε , 只須|x ?3| ε 31 證明 因為ε 0,δ ε , 當 0 |x ?3| δ 時, 有|3x ?1 ?8| ε , 所以 lim3x ?1 8x →331 2 分析 |5x +2 ?12| |5x ?10| 5|x ?2|, 要使|5x +2 ?12| ε , 只須|x ?2| ε 51δ ε 證明 因為ε 0, 當 0 |x ?2| δ 時, 有|5x +2 ?12| ε , 所以 lim5x +2 12x →252 2 2x ?4 x +4x +4 x ?4 3 分析 ? ?4 |x +2| |x ? ?2| , 要使 ? ?4 ε , 只須x +2 x +2 x +2|x ? ?2| ε 2 2x ?4 x ?4 證明 因為ε 0,δ ε , 當 0 |x ? ?2| δ 時, 有 ? ?4 ε , 所以 lim ?4x → ?2x +2 x +2331 ?4x 1 1 ?4x 1 1 4 分析 , 要使 ?2 ε , 只須|x ?| ε2 |1 ?2x ?2| 2|x ?|2x +1 2 2x +1 2 23 31 1 1 ?4x 1 ?4x 證明 因為ε 0,δ ε , 當 0 |x ?| δ 時, 有 ?2 ε , 所以 lim 212 2 2x +1 2x +1x →2 2. 根據(jù) 函數(shù)極限的定義證明:31 + x 1 1 。lim 3x → ∞22xsin x 2 lim 0x → +∞x33 3 31 + x 1 1 + xx 1 1 + x 1 1 證明 1 分析 , 要使 ε , 只須 ε , 即3 3 3 3 32 22x 2x 2|x| 2x 2|x|1|x| 32 ε331 1 + x 11 + x 1 證明 因為ε 0,X , 當|x| X 時, 有 ε , 所以 lim 3 33x → ∞2 22x 2x2 εsin x |sin x| 1 sin x 1 1 2 分析 ?0 ≤ , 要使 ?0 ε , 只須 ε , 即 x 2εx x x x x1sin x sin x 證明 因為ε 0,X , 當 x X 時, 有 ?0 ε , 所以 lim 02x → +∞εx x2 3. 當x →2 時, y x →4. 問δ 等于多少, 使當|x ?2| δ 時, |y ?4|0. 001 ? 2 解 由于x →2, |x ?2| →0, 不妨設|x ?2| 1, 即 1 x 3. 要使|x ?4| |x +2||x ?2| 5|x ?2| 0. 001, 只要2|x ?2| , 取 δ 0. 0002, 則當 0 |x ?2| δ 時, 就有|x ?4| 0. 001 52x ?1 4. 當 x →∞ 時, y →1, 問 X 等于多少, 使當|x|X 時, |y ?1|x +32x ?1 44 解 要使 ?1 , 只 , |x| ?3 397 X 3972 2x +3 x +3 5. 證明 函數(shù) fx |x| 當 x →0 時極 限為零x |x| 6. 求 f x , ?x 當 x →0 時的 左?右極限, 并說明它們在 x →0 時的 極限是否存在x x 證明 因為xlim f x lim lim 1 1,x →0 x →0 x x →0xlim f x lim lim 1 1,+ + +x →0 x →0 x x →0lim f x lim f x,? +x →0 x →0所以極限 lim f x 存在x →0 因為 |x| ?xlim ?x lim lim ?1,x →0 x →0 x →0x x|x| xlim ?x lim lim 1,+ + +x →0 x →0 x →0x xlim ?x ≠ lim ?x,? +x →0 x →0所以極限 lim ?x 不存在x →0 7. 證明: 若 x →+ ∞ 及 x →?∞ 時, 函數(shù) fx 的極限都存在且都等于 A, 則 lim f x Ax → ∞ 證明 因為 lim f x A , lim f x A , 所以? ε0,x → ?∞ x → +∞?X 0, 使當x ?X 時, 有|fx ?A| ε 。1 1?X 0, 使當x X 時, 有|fx ?A| ε 2 2取XX , X , 則當|x| X時, 有|fx ?A| ε , 即 lim f x A1 2x → ∞ 8. 根據(jù) 極限的定義證明: 函數(shù)fx 當x →x 時 極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各0自存在并且相等 證明 先 證明必要性. 設fx →Ax →x , 則? ε0,δ 0, 使當 0|x ?x | δ 時, 有 0 0|fx ?A| ε 因此當xδxx 和x xx + δ 時都有 0 0 0 0|fx ?A| ε 這說明fx 當x →x 時左右極限都存在并且都等于A 0 再證明 充分性. 設fx ?0 fx +0 A, 則? ε0,0 0? δ 0, 使當xδ xx 時, 有| fx ?A ε 。1 0 1 0? δ 0, 使當x xx + δ 時, 有| fx ?A| ε 2 0 0 2取 δ min δ , δ , 則當0|x ?x | δ 時, 有xδ xx 及x xx + δ , 從而有 1 2 0 0 1 0 0 0 2| fx ?A| ε ,即fx →Ax →x 0 9. 試給 出 x →∞ 時函 數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以 證明 解 x →∞ 時函數(shù)極限的局部有界性的定理 : 如果 fx 當 x→∞ 時的極限存在 , 則存在 X0 及M 0 , 使當|x|X 時, |fx| M證明 設 fx →Ax →∞ , 則對于 ε 1 , ?X0 , 當|x| X 時, 有|fx ?A| ε 1所以|fx| |fx ?A+A| ≤|fx ?A