【文章內(nèi)容簡介】 aa1|==e, 只須n. 分析 要使|22nnen(+a+n)n222an+a證明 因?yàn)閑0, $N=[], 當(dāng)nN時(shí), 有|1|e, 所以nen174。165。limn2+a2=1. nn174。165。n個(gè) (4) 4 9=1. 1231e , 即1. 分析 要使| 91|=1, 只須en1+lge10n110n1證明 因?yàn)閑0, $N=[1+lg1], 當(dāng)nN時(shí), 有| 91|e , 所以e4243n174。165。1n個(gè)n174。165。 9=1. 4. limun=a, 證明lim|un|=|a|. 并舉例說明: 如果數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列n174。165。{xn}未必有極限.證明 因?yàn)閘imun=a, 所以e0, $N206。N, 當(dāng)nN時(shí), 有|una|e, 從而 n174。165。||un||a||163。|una|e .這就證明了lim|un|=|a|. n174。165。數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 例如lim|(1)n|=1, 但lim(1)n不n174。165。n174。165。存在.5. 設(shè)數(shù)列{xn}有界, 又limyn=0, 證明: limxnyn=0. n174。165。n174。165。證明 因?yàn)閿?shù)列{xn}有界, 所以存在M, 使n206。Z, 有|xn|163。M. 又limyn=0, 所以e0, $N206。N, 當(dāng)nN時(shí), 有|yn|e. 從而當(dāng)nN時(shí), 有 n174。165。M|xnyn0|=|xnyn|163。M|yn|Me=e, M所以limxnyn=0. n174。165。 6. 對于數(shù)列{xn}, 若x2k1174。a(k174。165。), x2k 174。a(k 174。165。),證明: xn174。a(n174。165。).證明 因?yàn)閤2k1174。a(k174。165。), x2k 174。a(k 174。165。), 所以e0,$K1, 當(dāng)2k12K11時(shí), 有| x2k1a|e 。$K2, 當(dāng)2k2K2時(shí), 有|x2ka|e .取N=max{2K11, 2K2}, 只要nN, 就有|xna|e .因此xn174。a (n174。165。). 習(xí)題131. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:(1)lim(3x1)=8。 x174。3分析 因?yàn)閨(3x1)8|=|3x9|=3|x3|,所以要使|(3x1)8|e , 只須|x3|1e. 3證明 因?yàn)閑0, $d=1e, 當(dāng)0|x3|d時(shí), 有 3|(3x1)8|e ,所以lim(3x1)=8. x174。3(2)lim(5x+2)=12。 x174。2分析 因?yàn)閨(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|,所以要使|(5x+2)12|e , 只須|x2|1e. 5證明 因?yàn)閑 0, $d=e, 當(dāng)0|x2|d時(shí), 有 |(5x+2)12|e ,所以lim(5x+2)=12. x174。2152 (3)limx4=4。 x174。2x+2分析 因?yàn)?2x4x+4x+4=|x+2|=|x(2)|, (4)= x+2x+22x4(4)e, 只須|x(2)|e. 所以要使x+2證明 因?yàn)閑 0, $d=e, 當(dāng)0|x(2)|d時(shí), 有2x4(4)e, x+22x4=4. 所以limx174。2x+2 314x=2. (4)lim12x+1x174。 分析 因?yàn)?14x 2=|12x2|=2|x(1|, 2x+12314x所以要使2e, 只須|x(1)|1e. 2x+122證明 因?yàn)閑 0, $d=1e, 當(dāng)0|x(1|d時(shí), 有 223 14x2e, 2x+1314x=2. 所以limx174。2x+122. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:31。 (1)lim1+x=x174。165。2x2分析 因?yàn)?1=1+x3x3=1, 1+x2x322x32|x|331+x1e, 只須1e, 即|x|1. 所以要使2x22|x|3 證明 因?yàn)閑 0, $X=1, 當(dāng)|x|X時(shí), 有 31+x 1e, 322x31. 所以lim1+x=x174。165。2x32(2)limsinx=0. x174。+165。 分析 因?yàn)閤|1x0=|sin sin. 163。xxx所以要使sinx0e, 只須1e, 即x12. exx證明 因?yàn)閑0, $X=1, 當(dāng)xX時(shí), 有 e2x0e, sinx所以limsinx=0. x174。+165。x3. 當(dāng)x174。2時(shí), y=x2174。4. 問d等于多少, 使當(dāng)|x2|amp。lt。d時(shí), |y4|amp。lt。？ 解 由于當(dāng)x174。2時(shí), |x2|174。0, 故可設(shè)|x2|1, 即1x3.要使|x24|=|x+2||x2|5|x2|, 只要|x2|=. 5取d=, 則當(dāng)0|x2|d時(shí), 就有|x24|0. 001.2x 4. 當(dāng)x174。165。時(shí), y=21174。1, 問X等于多少, 使當(dāng)|x|X時(shí), |y1|? x+32x 解 要使211=24, 只要|x|43=, 故X=. +3x+35. 證明函數(shù)f(x)=|x|當(dāng)x174。0時(shí)極限為零.證明 因?yàn)閨f(x)0|=||x|0|=|x|=|x0|,所以要使|f(x)0|e, 只須|x|e.因?yàn)閷0, $d=e, 使當(dāng)0|x0|d, 時(shí)有|f(x)0|=||x|0|e,所以lim|x|=0. x174。0|x| 6. 求f(x)=x, j(x)=當(dāng)x174。0時(shí)的左﹑右極限, 并說明它們在x174。0時(shí)的極xx限是否存在.證明 因?yàn)閘imf(x)=limx=lim1=1, x174。0x174。0xx174。0lim+f(x)=lim+x=lim+1=1, x174。0x174。0xx174。0limf(x)=lim+f(x), x174。0x174。0所以極限limf(x)存在. x174。0因?yàn)閨x|=limx=1, x174。0x174。0xx174。0x|x|x=1, limj(x)=li=lix174。0+x174。0+xx174。0+x limj(x)=limj(x)185。limj(x), lim+x174。0x174。0所以極限limj(x)不存在. x174。07. 證明: 若x174。+165。及x174。165。時(shí), 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則x174。165。limf(x)=A.x174。165。x174。+165。 證明 因?yàn)閘imf(x)=A, limf(x)=A, 所以eamp。gt。0,$X10, 使當(dāng)xX1時(shí), 有|f(x)A|e 。$X20, 使當(dāng)xX2時(shí), 有|f(x)A|e .取X=max{X1, X2}, 則當(dāng)|x|X時(shí), 有|f(x)A|e , 即limf(x)=A. x174。165。8. 根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x174。x0 時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性. 設(shè)f(x)174。A(x174。x0), 則eamp。gt。0, $d0, 使當(dāng)0amp。lt。|xx0|amp。lt。d 時(shí), 有|f(x)A|amp。lt。e .因此當(dāng)x0damp。lt。xamp。lt。x0和x0amp。lt。xamp。lt。x0+d 時(shí)都有|f(x)A|amp。lt。e .這說明f(x)當(dāng)x174。x0時(shí)左右極限都存在并且都等于A .再證明充分性. 設(shè)f(x00)=f(x0+0)=A, 則eamp。gt。0,$d1amp。gt。0, 使當(dāng)x0d1amp。lt。xamp。lt。x0時(shí), 有| f(x)Aamp。lt。e 。$d2amp。gt。0, 使當(dāng)x0amp。lt。xamp。lt。x0+d2時(shí), 有| f(x)A|amp。lt。e .取d=min{d1, d2}, 則當(dāng)0amp。lt。|xx0|amp。lt。d 時(shí), 有x0d1amp。lt。xamp。lt。x0及x0amp。lt。xamp。lt。x0+d2 , 從而有 | f(x)A|amp。lt。e ,即f(x)174。A(x174。x0).9. 試給出x174。1