【文章內(nèi)容簡介】 174。0, limn1=1. n174。165。n+1n+1n+1(5) xn=n(1)n.解 當n174。165。時, xn=n(1)n沒有極限.cos. 問limx=? 求出N, 使當nN時, x與其 2. 設(shè)數(shù)列{xn}的一般項xn=nnn174。165。n極限之差的絕對值小于正數(shù)e , 當e =, 求出數(shù)N. 解 limxn=0. n174。165。||co163。1. e 0, 要使|x0|e , 只要1e, 也就是n1. 取 |xn0|= nnnneN=1, e則nN, 有|xn0|e .當e =, N=[1]=1000. e3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明:(1)lim1=0。 n174。165。n 分析 要使|120|=12e, 只須n21, 即n1. enn1=0. 證明 因為e0, $N=[1, 當nN時, 有|1, 所以0|elimn174。165。n2n2 (2)lim3n+1=3。 n174。165。2n+123n+13|=11e 分析 要使|, 只須1e, 即n1. 2n+122(2n+1)4n44n證明 因為e0, $N=[1, 當nN時, 有|3n+13|e, 所以lim3n+1=3. n174。165。2n+122n+124 (3)limn174。165。2+a2=1。 n2222222n+an+anaaa1|==e, 只須n. 分析 要使|22nnn(+a+n)n222an+a證明 因為e0, $N=[], 當nN時, 有|1|e, 所以nen174。165。limn2+a2=1. nn174。165。n個 (4) 4 9=1. 1231e , 即1. 分析 要使| 91|=1, 只須en1+lge10n110n1證明 因為e0, $N=[1+lg1], 當nN時, 有| 91|e , 所以e4243n174。165。1n個n174。165。 9=1. 4. limun=a, 證明lim|un|=|a|. 并舉例說明: 如果數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列n174。165。{xn}未必有極限.證明 因為limun=a, 所以e0, $N206。N, 當nN時, 有|una|e, 從而 n174。165。||un||a||163。|una|e .這就證明了lim|un|=|a|. n174。165。數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 例如lim|(1)n|=1, 但lim(1)n不n174。165。n174。165。存在.5. 設(shè)數(shù)列{xn}有界, 又limyn=0, 證明: limxnyn=0. n174。165。n174。165。 證明 因為數(shù)列{xn}有界, 所以存在M, 使n206。Z, 有|xn|163。M. 又limyn=0, 所以e0, $N206。N, 當nN時, 有|yn|e. 從而當nN時, 有 n174。165。M |xnyn0|=|xnyn|163。M|yn|Me=e, M所以limxnyn=0. n174。165。 6. 對于數(shù)列{xn}, 若x2k1174。a(k174。165。), x2k 174。a(k 174。165。), 證明: xn174。a(n174。165。).證明 因為x2k1174。a(k174。165。), x2k 174。a(k 174。165。), 所以e0, $K1, 當2k12K11時, 有| x2k1a|e 。 $K2, 當2k2K2時, 有|x2ka|e .取N=max{2K11, 2K2}, 只要nN, 就有|xna|e . 因此xn174。a (n174。165。). 習(xí)題131. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:(1)lim(3x1)=8。 x174。3分析 因為|(3x1)8|=|3x9|=3|x3|,所以要使|(3x1)8|e , 只須|x3|1e. 3證明 因為e0, $d=1e, 當0|x3|d時, 有 3|(3x1)8|e ,所以lim(3x1)=8. x174。3(2)lim(5x+2)=12。 x174。2分析 因為|(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|,所以要使|(5x+2)12|e , 只須|x2|1e. 5證明 因為e 0, $d=e, 當0|x2|d時, 有 |(5x+2)12|e ,所以lim(5x+2)=12. x174。2152x4=4。 (3)limx174。2x+2分析 因為22 x4(4)=x+4x+4=|x+2|=|x(2)|, x+2x+22x4(4)e, 只須|x(2)|e. 所以要使x+2證明 因為e 0, $d=e, 當0|x(2)|d時, 有2x4(4)e, x+22x4=4. 所以limx174。2x+2 3 (4)lim14x=2.x174。2x+12分析 因為314x 2=|12x2|=2|x(1|, 2x+12314x所以要使2e, 只須|x(1)|1e. 2x+122證明 因為e 0, $d=1e, 當0|x(1|d時, 有 223 14x2e, 2x+1314x=2. 所以limx174。2x+122. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:31。 (1)lim1+x=x174。165。2x2分析 因為3331+x11+xx ==13, 3322x2x2|x|31e, 只須1e, 即|x|1. 所以要使1+x2x22|x|3 證明 因為e 0, $X=1, 當|x|X時, 有 31e, 1+x2x3231+x1. 所以lim=x174。165。2x32(2)limsinx=0. x174。+165。 分析 因為x|1x0=|sin sin. 163。xxx所以要使sinx0e, 只須1e, 即x12. exx證明 因為e0, $X=1, 當xX時, 有 e2x0e, sinx所以limsinx=0. x174。+165。x3. 當x174。2時, y=x2174。4. 問d等于多少, 使當|x2|amp。lt。d時, |y4|amp。lt。？ 解 由于當x174。2時, |x2|174。0, 故可設(shè)|x2|1, 即1x3.要使|x24|=|x+2||x2|5|x2|, 只要|x2|=. 5取d=, 則當0|x2|d時, 就有|x24|0. 001.2x 4. 當x174。165。時, y=21174。1, 問X等于多少, 使當|x|X時, |y1|? x+32x 解 要使211=24, 只要|x|43=, 故X=. +3x+35. 證明函數(shù)f(x)=|x|當x174。0時極限為零.證明 因為|f(x)0|=||x|0|=|x|=|x0|,所以要使|f(x)0|e, 只須|x|e.因為對e0, $d=e, 使當0|x0|d, 時有|f(x)0|=||x|0|e,所以lim|x|=0. x174。0|x| 6. 求f(x)=x, j(x)=當x174。0時的左﹑右極限, 并說明它們在x174。0時的極xx限是否存在.證明 因為limf(x)=limx=lim1=1, x174。0x174。0xx174。0lim+f(x)=lim+x=lim+1=1, x174。0x174。0xx174。0limf(x)=lim+f(x), x174。0x174。0所以極限limf(x)存在. x174。0因為|x|=limx=1, x174。0x174。0xx174。0x|x|x=1, limj(x)=li=l