【文章內容簡介】 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理 2. 連續(xù)單調遞增函數的反函數也連續(xù)單調遞增 . 在其定義域內連續(xù) 一、連續(xù)函數的運算法則 定理 1. 在某點連續(xù)的 有限個 函數經 有限次 和 , 差 , 積 , ( 利用極限的四則運算法則證明 ) 商 (分母不為 0) 運算 , 結果仍是一個在該點連續(xù)的函數 . 例如 , 例如 , xy sin? 在 上連續(xù)單調遞增， 其反函數 xy a rc s in?(遞減 ) (證明略 ) 在 [?1, 1]上也連續(xù)單調 (遞減 ) 11?xOy2π2π?遞增 . xsinxarcsin目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理 3. 連續(xù)函數的復合函數是連續(xù)的 . 在 上連續(xù) 其反函數 在 上也連續(xù)單調遞增 . 證 : 設函數 .)( 00 ux ??于是 )(li m0ufuu ? )]([ 0xf ??故復合函數 又如 , 且 即 xyOxy ln?exy ?11單調 遞增 , 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如 , 是由連續(xù)函數鏈 *R?x因此 在 *R?x 上連續(xù) . 復合而成 , xy1si n?xyO目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 1 . 設 均在 上連續(xù) , 證明函數 也在 上連續(xù) . 證 : )()( xgxf ?)()( xgxf ??根據連續(xù)函數運算法則 , 可知 也在 上 連續(xù) . 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、初等函數的連續(xù)性 基本初等函數在定義區(qū)間內連續(xù) 連續(xù)函數經四則運算仍連續(xù) 連續(xù)函數的復合函數連續(xù) 一切初等函數在 定義區(qū)間內連續(xù) 例如 , 21 xy ?? 的連續(xù)區(qū)間為 (端點為單側連續(xù) ) xy s inln? 的連續(xù)區(qū)間為 1c o s ?? xy 的定義域為 因此它無連續(xù)點 而 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 2. 求 解 : 原式 例 3. 求 解 : 令 ,1?? xat 則 ,)1(lo g tx a ??原式 )1(l o glim 0 ttat ???說明 : 由此可見當 時 , 有 ~)1ln ( x? ~1e ?xx x目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 4. 求 解 : 原式 )21l n (si n3 xx ?x3說明 : 若 ,0)(lim0?? xuxx 則有 ? ? ??? )()(1l i m0xvxx xu,)(lim0??? xvxxee?)()(lim0xuxvxx ?x2?目錄 上頁 下頁 返回 結束 ???????1,41,)(xxxxx?例 5. 設 解 : 討論復合函數 的連續(xù)性 . ?1,2 ?xx1,2 ??? xx故此時連續(xù) 。 而 )]([lim 1 xfx ??? 21lim xx ??? 1?)]([l i m1 xfx ??? )2(l i m1 xx ??? ?? 3??故 x = 1為第一類間斷點 . 1)(),(2 ?xx ??1)(,)(2 ?? xx ??,)]([1 為初等函數時 xfx ??在點 x = 1 不連續(xù) , 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結 基本初等函數 在定義區(qū)間內 連續(xù) 連續(xù)函數的 四則運算 結果仍連續(xù) 連續(xù)函數的 反函數 連續(xù) 連續(xù)函數的 復合函數 連續(xù) 初等函數在定義區(qū)間內連續(xù) 說明 : 分段函數在界點處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性 . 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習 續(xù) ? 反例 x 為有理數 x 為無理數 處處間斷 , 處處連續(xù) . 反之是否成立 ? 作業(yè) P69 3 (5) , (6) , (7) 。 4 (4) , (5) ,(6) 。 6 提示 : “反之” 不成立 . 第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第十節(jié) 一 、最值定理 二、介值定理 *三、一致連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 注意 : 若函數在 開區(qū)間 上連續(xù) , 結論不一定成立 . 一 、最值定理 定理 閉區(qū)間 上連續(xù)的函數 即 : 設 ,],[)( baCxf ?1? 2?則 ,],[, 21 ba?? ?? 使 )(m i n)( 1 xff bxa ????)(m a x)( 2 xff bxa ????值和最小值 . 或在閉區(qū)間內 有間斷 在該區(qū)間上一定有最大 (證明略 ) 點 , xya b)( xfy ?O目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如 , 無最大值和最小值 22也無最大值和最小值 又如 , xy11OxyO 11目錄 上頁 下頁 返回 結束 1? 2?mM二、介值定理 由定理 1 可知有 ,)(m a x ],[ xfM bax ?? )(m i n ],[ xfm bax ??證 : 設 上有界 . 定理 2. ( 零點定理 ) 至少有一點 且 使 ( 證明略 ) 推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數在該區(qū)間上有界 . b xya)( xfy ?O? xyab)( xfy ?O目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理 3. ( 介值定理 ) 設 ,],[)( baCxf ? 且 ,)( Aaf ?,)( BABbf ?? 則對 A 與 之間的任一數 C , 一點 證 : 作輔助函數 Cxfx ?? )()(?則 ,],[)( baCx ?? 且 )()( ba ?? ))(( CBCA ???故由零點定理知 , 至少有一點 使 即 推論 : 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數 C?使 至少有 必取得介于最小值與 最大值之間的任何值 . xAbya)( xfy ?BO目錄 上頁 下頁 返回 結束 O 1 x例 . 證明方程 一個根 . 證 : 顯然 又 故據零點定理 , 至少存在一點 使 即 說明 : ,21?x ,0)( 8121 ??f內必有方程的根 。 )1,(21取 的中點 ,43?x ,0)( 43 ?f內必有方程的根 。 ),( 4321 ? 可用此法求近似根 . 二分法 ????在區(qū)間 內至少有 則 則 4321內容小結 目錄 上頁 下頁 返回 結束 *三 . 一致連續(xù)性 已知函數 在區(qū)間 I 上連續(xù) , 即 : 一般情形 , ., 0 都有關與 x?? 就引出 了一致連續(xù)的概念 . 定義 : 對 任意 的 都有 在 I 上一致連續(xù) . 顯然 : 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如 , 但不一致連續(xù) . 因為 取點 則 可以任意小 但 這說明 在 ( 0 , 1 ] 上不一致連續(xù) . 定理 4. 上一致連續(xù) . (證明略 ) 思考 : P74 題 *7 提示 : 設 存在 , 作輔助函數 顯然 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結 在 上達到最大值與最小值 。 上可取最大與最小值之間的任何 值 。 4. 當 時 , 使 必存在 上有界 。 在 在 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 任給一張面積為 A 的紙片 (如圖 ), 證明必可將它 思考與練習 一刀剪為面積相等的兩片 . 提示 : 建立坐標系如圖 . xOy??則面積函數 ],[)( ??? CS ?因 ,0)( ??S AS ?)(?故由介值定理可知 : ,),(0 ??? ?? .2)( 0 AS ??使)(?S?目錄 上頁 下頁 返回 結束 則 證明至少存在 使 提示 : 令 則 易證 2. 設 作業(yè) P74 (習題 1－ 10） 2 。 3。 5 一點 習題課 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題 至少有一個不超過 4 的 證 ： 證明 令 且 根據零點定理 , 原命題得證 . 內至少存在一點 在開區(qū)間 顯然 正根 . 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、 連續(xù)與間斷 一、 函數 三、 極限 習題課 函數與極限 第一章 目錄 上頁 下頁