【正文】 返回 結(jié)束 )( xfy ?yxO D一、 函數(shù) 1. 概念 定義 : 定義域 值域 圖形 : ( 一般為曲線 ) 設(shè) 函數(shù)為特殊的映射 : 其中 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 特性 有界性 , 單調(diào)性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函數(shù) 設(shè)函數(shù) 為單射 , 反函數(shù)為其逆映射 DDff ?? )(:14. 復(fù)合函數(shù) 給定函數(shù)鏈 則復(fù)合函數(shù)為 ])([: DgfDgf ??5. 初等函數(shù) 有限個(gè) 常數(shù)及基本初等函數(shù) 經(jīng) 有限次 四則運(yùn)算與 復(fù)合而成的 一個(gè) 表達(dá)式的函數(shù) . gf ?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí) 1. 下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什么 ? )a rc c o s2c o s ()()1( xxf ? ]1,1[,12)( 2 ???? xxx?與??????axaaxxxf,)()2( ? ?2)(21)( xaxax ?????與??????0,0,0)()3(xxxxf )]([)( xffx ??與相同 相同 相同 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 下列各種關(guān)系式表示的 y 是否為 x 的函數(shù) ? 為什么 ? 1s in1)1(?? xy? ? ],0[,c o s,s i nm a x)2( 2π?? xxxy22,a rc s i n)3( xuuy ???不是 4π0 ?? x,cos x2π4π ?? x,sin x是 不是 提示 : (2) ?y目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0?x????????0,10,1)()4(33xxxxxf???????0,10,1)()2(xxxf??????1,41,2)()3(xxxf,2xx?xyO421⑶ ????????1,11,13xx1)1(3 2????xx,1 6x??O xy11?⑵ 1?xR?x3. 下列函數(shù)是否為初等函數(shù) ? 為什么 ? ???????0,0,)()1(xxxxxf 2x?以上各函數(shù)都是初等函數(shù) . xy 1 ⑷ O目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4. 設(shè) ,0)(,1)]([,e)( 2 ???? xxxfxf x ?? 且求 )(x?及其定義域 . 5. 已知 ??? ?? ??? 8,)]5([ 8,3)( xxff xxxf , 求 .)5(f6. 設(shè) ,c o sc sc)sin 1(si n 22 xxxxf ??? 求 .)(xf由 得 ,)1l n ()( xx ??? ]0,(???xxx )(x?4. 解 : )(x?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ][ f?5. 已知 ??? ?? ??? 8,)]5([ 8,3)( xxff xxxf , 求 .)5(f解 : )5(f )( f?)10(f )(7f? ][ f?)( f? )(9f? 6?6. 設(shè) ,c o sc sc)sin 1(si n 22 xxxxf ??? 求 .)(xf解 : 1sinsin 1)sin 1(sin 22 ???? xxxxf?3)si n1(si n 2 ??? xx3)( 2 ??? xxf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解 : 利用函數(shù)表示與變量字母的無(wú)關(guān)的特性 . ,1xxt ?? ,11 tx ?? 代入原方程得 ,11 1 uux ?? ? 代入上式得 設(shè) 其中 ，求 令 即 即 令 即 畫線三式聯(lián)立 即 例 1. 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、 連續(xù)與間斷 1. 函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式 )()(lim 00xfxfxx ??? ?)()(, 000 xfxxfyxxx ????????0lim 0 ???? yx)()()( 000 xfxfxf ?? ??,0??? ,0??? ,0 時(shí)當(dāng) ??? xx有 ??? )()( 0xfxf2. 函數(shù)間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn) 第二類間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn) 無(wú)窮間斷點(diǎn) 振蕩間斷點(diǎn) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 有界定理 。 最值定理 。 零點(diǎn)定理 。 介值定理 . 3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 例 2. 設(shè)函數(shù) 在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = . 提示 : 20)c o s1(lim)0(xxafx?????2a?221~c o s1 xx?)(lnlim)0( 20xbfx?? ???bln?ba ln12 ??2 e目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 有無(wú)窮間斷點(diǎn) 及可去間斷點(diǎn) 解 : 為無(wú)窮間斷點(diǎn) , ???? ?? )1)((elim0 xaxbxx所以 bxaxxx ???? e)1)((l i m0 ba??1 0?1,0 ?? ba為可去間斷點(diǎn) , )1(elim 1 ??? ? xx bxx 極限存在 0)(elim 1 ??? bxx eelim 1 ?? ? xxb例 3. 設(shè)函數(shù) 試確定常數(shù) a 及 b . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 4. 設(shè) f (x) 定義在區(qū)間 上 , , 若 f (x) 在 連續(xù) , 提示 : )(lim 0 xxfx ???? )]()([lim0 xfxfx ??? ??)0()( fxf ??)0( ?? xf )( xf?閱讀與練習(xí) 且對(duì)任意實(shí)數(shù) 證明 f (x) 對(duì)一切 x 都連續(xù) . P65 題 1 , 3(2) 。 P74 題 *6 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證 : P74 題 *6. 證明 : 若 令 ,)(lim Axfx ???則給定 ,0,0 ??? X?當(dāng) Xx ?時(shí) , 有 ?? ???? AxfA )(又 ,],[)( XXCxf ?? 根據(jù)有界性定理 , 01 ?? M , 使 ],[,)( 1 XXxMxf ???取 ? ?1,m a x MAAM ?? ???則 ),(,)( ????? xMxf)(xf在 ),( ????內(nèi)連續(xù) , )(lim xfx ??存在 , 則 )(xf必在 ),( ????內(nèi)有界 . )(xfX? XA1MOyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 上連續(xù) , 且恒為正 , 例 5. 設(shè) )(xf在 對(duì)任意的 必存在一點(diǎn) 證 : 使 令 , 則 )()( 21 xfxf?? 221 )]()([ xfxf ? 0?使 故由零點(diǎn)定理知 , 存在 即 證明 : 即 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 上連續(xù) , 且 a ? c ? d ? b , 例 6. 設(shè) )(xf在 必有一點(diǎn) 證 : 使 即 由介值定理 , 證明 : 故 即 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、 極限 1. 極限定義的等價(jià)形式 (以 為例 ) 0xx ?(即 為無(wú)窮小 ) Axf ?? )(?有 ?? ?2. 極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 無(wú)窮小 無(wú)窮小的性質(zhì) 。 無(wú)窮小的比較 。 常用等價(jià)無(wú)窮小 : 4. 兩個(gè)重要極限 6. 判斷極限不存在的方法 ~sin x x ~c o s1 x? 221x~a rc sin x x~1e ?x x ~1)1( ?? ?x x?5. 求極限的基本方法 或 注 : 代表相同的表達(dá)式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 7. 求下列極限： )s in1(s inlim)1( xxx ?????xxx si n π112lim)2( ?? ? ?xxxxc o t110l i m)3( ???提示 : xx s in1s in)1( ??21c o s21sin2 xxxx ?????21c o s)1(21sin2 xxxx?????無(wú)窮小 有界 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 令 1lim)2( ?x1?? xt0lim?? t )1(sin π)2(???ttt0lim?? t tttsinπ)2( ?0lim?? t tttπ)2( ?π2?