【文章內(nèi)容簡介】 2xx ????同理可得 。1 1)( a r c t a n 2xx ???)(a rc s in ?x.1 1)co t( 2xx ????arc例 2 .l o g 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) xy a?,0ln)( ??? aaa yy且 ,),0( 內(nèi)有在 ???? xI)(1)( l o g??? ya ax aa y ln1? .ln1ax?解 ,),( 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在 ?????? yy Iax?特別地 .1)( ln xx ??定理 26 ).()(,)]([,)()(,)(0000000xufdxdyxxfyxuufyxxuxx? ????????????且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)在點(diǎn)而可導(dǎo)在點(diǎn)如果函數(shù)即 因變量對自變量求導(dǎo) ,等于因變量對中間變量求導(dǎo) ,乘以中間變量對自變量求導(dǎo) .(鏈?zhǔn)椒▌t ) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 推廣 ),(),(),( xvvuufy ?? ???設(shè).)]}([{dxdvdvdududydxdyxfy???? 的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù) ??例 3 .s i nln 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) xy ?解 .s i n,ln xuuy ???dxdududydxdy ??? xu co s1 ??xxsincos? xcot?例 4 .)1( 102 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) ?? xy解 )1()1(10 292 ????? xxdxdyxx 2)1(10 92 ??? .)1(20 92 ?? xx例 5 .1s i n 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) xey ?解 1s in 1s inxye x???? ? ????1s i n 11c o sxe xx???? ? ?????.1c o s11s i n2 xexx ???例 6 .)2(2 1ln 32的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) ???? xxxy解 ),2l n (31)1l n (21 2 ???? xxy?)2(31211212 ???????? xxxy )2(3112 ???? xxx例 7 .a r c s i n22 222 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) axaxaxy ???解 222 a r c si n22x a xy a xa?? ????? ? ? ??? ???? ??2222222222121xaaxaxxa?????? .22 xa ??)0( ?a例 8 .的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) xxxy ???解 )(2 1 ??????? xxxxxxy11 1 ( )22xxxxxxx???? ? ???????? 1 1 111222 xxxxxx?? ??? ? ??? ?????????.812422xxxxxxxxxx????????例 9 .1s i n 的導(dǎo)數(shù)求函數(shù) xey ?解 1s in 1s inxye x???? ? ????1s i n 11c o sxe xx???? ? ?????1s in211c o sxexx??? ? ? ?????.1c o s11s i n2 xexx ???復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy?????????????或?qū)?shù)為的則復(fù)合函數(shù)而設(shè)任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出 . 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù) 11( ) .() xyf x yyx??? ??? ?或小 結(jié) 注意 :初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) . 作 業(yè) P58 習(xí)題 2 第 4題的雙號題 定義 : ? ?, ( )F x y y y x?由 方 程 =0 所 確 定 的 函 數(shù).)( 形式稱為顯函數(shù)xfy ?( , ) 0F x y ? )( xfy ? 隱函數(shù)的顯化 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 013 ??? yx 3 1 xy ??15s in3 45 ??? xxyy)( xyy ?例 （顯化） （不能顯化） .稱 為 隱 函 數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則 : 把隱函數(shù)（ y）看成自變量（ x）的復(fù)合函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 : 問題 : 隱函數(shù)不易顯化或 不能顯化如何求導(dǎo) ? 方程兩邊直接對自變量（ x）求導(dǎo) . 例 1 00,.xyxx y e edy dyydx dx ?? ? ?求 由 方 程 所 確 定 的 隱 函 數(shù)的 導(dǎo) 數(shù)解 ,x方 程 兩 邊 對 求 導(dǎo)0???? dxdyeedxdyxy yx解得 ,yxexyedxdy??? ,0,0 ?? yx由原方程知000??? ????yxyxx exyedxdy .1?? ? ? ? ? ? ? ?0xyxxxxx y e e????? ? ?例 2 333,33,22.C x y x y CC????????設(shè) 曲 線 的 方 程 為 求 過上 點(diǎn) 的 切 線 方 程 并 證 明 曲 線 在 該點(diǎn) 的 法 線 通 過 原 點(diǎn)解 ,求導(dǎo)方程兩邊對 x yxyyyx ????? 3333 2233,22233 2,22yxyyx ?????????????????.1??所求切線方程為 )23(23 ???? xy .03 ??? yx即2323 ??? xy法線方程為 ,xy ?即 顯然通過原點(diǎn) . 對數(shù)求導(dǎo)法 觀察函數(shù) .,)4( 1)1( s i n23xx xyexxxy ?????方法 : 先在方程兩邊取對數(shù) , 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù) . 對數(shù)求導(dǎo)法 適用范圍 : ()( ) .vxux多 個 函 數(shù) 相 乘 除 和 冪 指 函 數(shù) 的 情 形例 3 解 32( 1 ) 1 1 1 2 1( 4) 1 3 ( 1 ) 4xxxyx e x x x?????? ? ? ? ???? ? ? ???等式兩邊取對數(shù)得 xxxxy ??????? )4l n (2)1l n (31)1l n (ln求導(dǎo)得上式兩邊對 x? ? ? ? ? ?1 1 1 21 1 4 11 3 ( 1 ) 4y x x xy x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?32( 1 ) 1 ,.( 4 ) xxxyyxe?? ???設(shè) 求解 .),0(s i n yxxy x ??? 求設(shè)等式兩邊取對數(shù)得 xxy lns i nln ??求導(dǎo)得上式兩邊對 xxxxxyy1s i nlnc o s1 ?????)1s i nln( c o s xxxxyy ??????)s i nln( c o ss i n x xxxx x ???例 4 問題 : 變速直線運(yùn)動的加速度 . ),( tfs ?設(shè) )()( tftv ??則瞬時速度為的變化率對時間是速度加速度 tva?.])([)()( ?????? tftvta定義 0( ) ( ) ,( ) ( )( ( ) ) l im, ( ( ) ) ( .)xf x f x xf x x f xfxxf x f x x?????? ? ??? ????如 果 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 在 點(diǎn) 處 可 導(dǎo) 即存 在 則 稱 為 函 數(shù) 在 點(diǎn) 處 的 二 階 導(dǎo) 數(shù) 高階導(dǎo)數(shù) 記作 .)(,),( 2222dxxfddxydyxf 或????, ( ) 1( ) ,f x nf x n?一 般 地 函 數(shù) 的 階 導(dǎo) 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 稱 為函 數(shù) 的 階 導(dǎo) 數(shù) 記 作.)(,),( )()( nnnnnn dx xfddx ydyxf 或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù) , 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù) . .)(。)(, 稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)地 xfxf ?.,),( 33dx ydyxf ??????二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) , .,),( 44)4()4( dx ydyxf2. 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例 例 5 ).0(),0(,a r c t a n ffxy ?????? 求設(shè)解 21 1xy ??? 211y x????? ? ????? 22 )1(2xx???222(1 )xyx??????? ? ????? 322)1()13(2xx???2202( 0)(1 ) xxfx ???????22302 ( 3 1 )( 0 )(1 ) xxfx ????? ??。0?.2??直接法 : 由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù) . .),( )( nyRxy 求設(shè) ??? ?解 1????? xy)( 1 ????? ??xy 2)1( ????? x??3)2)(1( ???????? x))1(( 2 ??????? ??xy)1()1()1()( ???????? ?? nxny nn ?則為自然數(shù)若 ,n?)()( )( nnn xy ? ,!n? )!()1( ??? ny n .0?例 6 .),1l n ( )( nyxy 求設(shè) ??解 xy ??? 1 1 2)1( 1 xy ?????3)1(!2xy ????? 4)4()1(!3xy ?????)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn例 7 .,s i n )( nyxy 求設(shè) ?解 xy c o s?? sin 2x ?????????c os 2yx ????? ??????sin 22x ????? ? ?????sin 2 2x???? ? ?????c os 2 2yx ?????? ? ? ?????si n 3x??? ? ???????() sin2ny x n ???? ? ?????()( c o s ) c o s2nx x n ???? ? ?????同理可得 例 8 .,)0,0()(22dxydyxxyxfy yx求所確定由方程設(shè)函數(shù) ????例 9 解 兩邊取對數(shù) ,ln1ln1 xyyx ? ,lnln xxyy ?即,1ln)ln1( ????? xyy ,ln1 1ln yxy ? ???2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy?????????322)1( l n)1( l n)1( l n?????yxyxxyy對數(shù)求導(dǎo)法 先在方程兩邊取對數(shù) ,然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù) . 適用范圍 : ()( ) .vxux多 個 函 數(shù) 相 乘 除 和 冪 指 函 數(shù) 的 情 形隱函數(shù)求導(dǎo)法則 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo) . 小 結(jié) 高階導(dǎo)數(shù) ,)()(lim))((0 xxfxxfxfx ???????????二階導(dǎo)數(shù)記作 .)(,),( 2222dxxfddxydyxf 或????.,),( 33dxydyxf ??????二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) , 記作階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的函數(shù)一般地,)(1)(,nxfnxf ?.)(,),( )()( nnnnnndxxfddxydyxf 或(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù) ) 作 業(yè) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 P58 習(xí)題 2 5(1)(3)。 6(4)(5)(6)。 7(3)(4)。 8. 導(dǎo)數(shù)的概念 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)法則 函數(shù)的微分及其應(yīng)用 中值定理與 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第 2章 導(dǎo)數(shù)與微分 ()dy fxdx ?? 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、拉格朗日 (Lagrange)中值定理 二、洛必達(dá)法則 三、函數(shù)的單調(diào)性和極值 五、 函數(shù)曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 七 、函數(shù)圖形的描繪 六、 函數(shù)曲線的漸近線 四、 函數(shù)的最大值與最小值 定理 27（羅爾（ Rolle）中值定理） 若 f (x)滿足： （ 1）在 [a, b]上連續(xù)， （ 2）在 (a, b)內(nèi)可導(dǎo)， （ 3） f (a) = f (b)， 則至少存在一點(diǎn) (