【文章內(nèi)容簡介】 5． 求下列函數(shù)的微分 yd ： （ 1） 3ln33 ??? xxy ； （ 2） xxy 2sin2? ； （ 3） 2ln (1 )yx??； （ 4） )1(sec 2 xy ?? ； （ 5）21 xxy ?? ； （ 6） 2tan(1 2 )yx??； （ 7） 21arctan xy ?? ； （ 8） xy 2sin2?? ． 解： （ 1） xxxxxxxy xxx l n 3 ) d33(d0d3ln3d3)3( l nd)3(d)(dd 223 ????????? ． （ 2） xxxxxxxxxxxxxxxy d)2c o s2( s i n2d2c o s2d2s i n2)2( s i nd)(d2s i nd 222 ?????? ． （ 3） xx xxx xxxy d1 )1l n(2)d(11 )1l n(2)]1[l n(d)1l n(2d ? ???? ????? ． （ 4） )d ( 1)1t a n ()1(s e c2)1s e c (d)1s e c (2d 2 xxxxxy ??????? xxx d)1ta n ()1(s e c2 2 ???? ． （ 5）因為2/32222)1( 11 )1/(11 xx xxxxy ??? ???????，所以，2/32 )1( dd xxy ??． （ 6）因為 )21(s e c44)21(s e c 2222 xxxxy ?????? ，所以 xxxy d)2(1s e c4d 22 ?? ． （ 7）因為22222 1)2(122)1(1 1 xx xxxxy ????????? ，所以22 1)2(dd xx xxy ??? ． （ 8）因為 xx xxy 22 s i n2s i n 22s i n2ln)s i n(2ln2 ?? ????????? ， 所以 xxy x d22s in2lnd 2s in????? ． 6． 在括號內(nèi)填入適當?shù)暮瘮?shù)，使下列等式成立： （ 1） d( ) 2? dx ； （ 2） d( ) 21 x?? dx ； （ 3） d( ) 2sin2x? dx ； （ 4） d( ) 12 x?dx ； （ 5） d( ) nx? dx （ 1??n ）； （ 6） d( )21 1x??dx ． 解： （ 1）因為 2)2( ???Cx ，所以 xCx d2)2(d ?? ． （ 2）因為 xCx ????? 1 2)1ln2( ，所以 d( Cx ??1ln2 ) 21 x?? dx ． （ 3） xCx 2s in2)s in2( 2 ??? ，所以 d( Cx?2sin2 ) 2sin2x? dx ， 或因為 xCx 2s in2)2c o s( ???? ，所以 d( Cx?? 2cos ) 2sin2x? dx ． （ 4）因為xCx 2 1)( ???，所以 d( Cx? ) 12 x?dx ． （ 5）因為 nn xCnx ????? )1( 1 ，所以 d( Cnxn ???11 ) nx? dx （ 1??n ）． （ 6）因為21 1)(a rc ta n xCx ????，所以 d( Cx?arctan )21 1x??dx ． 習題 2— 3（ B） 1． 如圖所示的 ,ABC 三個圓柱型零件．當圓柱 A 轉過 x 圈時， B 轉過 u 圈，從而帶動 C 轉過 y 圈． 通過計算周長知道 ,32uy u x??，因此3dd21dd ?? xuuy ， ，求 xydd ． 解： 23321dddddd ???? xuuyxy ． 2． 求下列函數(shù)的導數(shù)： （ 1） xxy x sine? ； （ 2） xy lnlnln? ； （ 3） )ln ( 22 xaxy ??? ； （ 4） )co tln (csc xxy ?? ； （ 5）xxy ??? 11ln； （ 6） axaxaxy a rc s in22 222 ??? ； （ 7）xxy ??? 11arc sin； （ 8） xx xxy 12 )2(?? ． 解： （ 1） )c o ss i n( s i ne)( s i nes i n)e(s i ne xxxxxxxxxxxy xxxx ?????????? ． （ 2） xxxxxxxx xxxy lnlnln 1lnlnln 1lnlnln )(l nlnln )ln(l n ??????? ????? ． ABC（ 3） 2222222222 /1)( xaxax xaxxax xaxy ???? ?????????? ． （ 4） xxx xxxxx xxy c s cc otc s c c s cc otc s cc otc s c )c ot(c s c 2 ?? ???? ???? ． （ 5）xxxxxxxxy )1( 1)1(2 1)1(2 1])1[l n(])1[l n( ?????????????． （ 6）2222222)/(1/1222 axaaxaxxay??????? 2222222222222222222 xaxaxaxa axa xxa ????????????． （ 7）)1(2)1(1)1()1()1(112111112 xxxxxxxxxxy ????????????????． （ 8）因為 x xxxxx xxy 2lnln212 ee)2( ???? ， 所以 xxx xxx xx xxxx xxy 12222lnln2 )2(2ln1)2ln2(2ln1e)2ln2(e ????????? ． 3． 若函數(shù) )(xf 可微，求下列函數(shù)的導數(shù)： （ 1） )( 2xfy? ； （ 2） )(2 xfy? ； （ 3） )]([ xffy? ； （ 4） ]e1ln[ )(xfy ?? ． 解： （ 1） )(2))(( 222 xfxxxfy ?????? ． （ 2） )()(2])()[(2 xfxfxfxfy ????? ． （ 3） )()]([])()][([ xfxffxfxffy ??????? ． （ 4）)()()()()()( e1 )(ee1 ])([ee1 ]e1[xfxfxfxfxfxf xfxfy ? ??? ??? ???? ． 4． 設可導函數(shù) )(xf 滿足方程 xxfxf 3)1(2)( ?? ，求 )(xf? ． 解： （方法 1） 等式兩邊對 x 求導，有22 3)1)(1(2)( xxxfxf ??????， 用 x1 替換上式中的 x ，有 22 3)(2)1( xxfxxf ????? ，從而得212)( xxf ???． （方法 2） 用 x1 替換題中等式里的 x ，有 xxfxf 3)(2)1( ?? ， 由此得 xxxf 12)( ?? ， 所以，212)( xxf ???． 5． 設 ]1)([ 2 xxgfy ?? ，其中 )()( uguf ， 可微，求 yd ． 解： xxxgfxxgxgxxgxxgfy d]1)([]1)()(2[]1)([d]1)([d 2222 ?????????. 6． 試寫出垂直與直線 0162 ??? yx 且與曲線 53 23 ??? xxy 相切的直線方程． 解： xxxy 63)( 2 ??? ，設切點的橫坐標為 tx? ，則切線斜率 tttyk 63)( 2 ???? ， 而直線 0162 ??? yx 的斜率 3/11?k ， 由已知 11 ??kk ，有 122 ??? tt ，得 1??t ，切點為 )31( ??， ，切線斜率為 3??k ， 于是 ，所求切線方程為 )1(33 ???? xy ，即 063 ??? yx ． 習題 2— 4（ A） 1． 下列論述是否正確？并根據(jù)你的回答說出理由： （ 1）如果 ()y f x? 的導數(shù) ()fx? 大于零，那么 ()y f x? 的二階導數(shù)也一定大于零； （ 2）變速直線運動的加速度大于零，該變速運動一定是加速運動． 答： （ 1）不正確 ． 如 xxf ln)( ? （ 0?x ）， 01)( ??? xxf ，但是 01)(2 ????? xxf． （ 2）正確 ． 由 0)()( ??? tatv ，有速度的變化率是正的，即運動是加速運動 ． 2． 求下列函數(shù)的二階導數(shù)： （ 1） 2 2lny x x?? ； （ 2） 3 24xxy x??? ； （ 3） xy arctan? ； （ 4） )21sin( xy ?? ； （ 5） xxy arcsin1 2?? ； （ 6） xy x cose? ； （ 7） 2 3yx??； （ 8） 2ln(1 )yx??； （ 9） )1ln( 2 ??? xxy ； （ 10） xxy sh? ． 解： （ 1） xxy 22 ??? ，222 xy ????． （ 2） 1212 42 ?? ??? xxxy ， 223 42 ?? ???? xxxy ，32 82 32 xxxy ??????． （ 3）21 1xy ???，22 )1( 2xxy ?????． （ 4） )21cos(2 xy ???? ， )21sin(4 xy ????? ． （ 5） 1a rc s in1 2 ????? xxxy， 22/3222222221)1( a rc s i n1 11a rc s i n)1( 1/1 xxx xxxxxx xxxy ?????????? ???????． （ 6） )sin(co se xxy x ??? ， xxxxxy xx s i ne2)c o ss i ns i n( c o se ???????? ． （ 7）32 ??? xxy，2/322222)3( 33 3/3 ???? ?????? xx xxxy． （ 8）212xxy ???，222222)1( )1(2)1( 22)1(2 x xx xxxy ? ??? ??????． （ 9）111 1/1 222???? ???? xxx xxy，2/32212)1(])1[( ??????? ? x xxy． （ 10） xxxy chsh ??? ， xxxxxxxy shch2shchch ??????? ． 3． 設函數(shù) 24( ) 3 2f x x x x? ? ? ?，求 )0(f?? 及 )0()4(f ． 解： 3441)( xxxf ???? ， 2124)( xxf ???? ， xxf 24)( ???? ， 24)()4( ?xf ， 024)0( 0 ????? ?xxf ； 2424)0( 0)4( ?? ?xf ． 4． 計算下列各題： （ 1） 12e)( ?? xxf ，求 )()5( xf ； （ 2） ( 1)lny x x?? ，求33ddxy ； （ 3） xy sinln? ，求 y? ． 解： （ 1） 12e2)( ??? xxf ， 12e4)( ???? xxf ， 12e8)( ????? xxf ， 12)4( e16)( ?? xxf ， 12)5( e32)( ?? xxf ． （ 2） xxxy 11lndd ??? ，222 11dd xxxy ?? ，33233 221dd x xxxx y ????? ． （ 3） xxxy cotsincos ??? ， xy 2csc???? ， xxxxxy c o tc s c2)c o tc s c(c s c2 2 ????????? ． 5． 驗證函數(shù) xx CCy