【正文】 （A）連續(xù)，偏導數(shù)存在 （B）連續(xù)，偏導數(shù)不存在（C）不連續(xù)，偏導數(shù)存在 （D）不連續(xù)，偏導數(shù)不存在解：由上可知，答案是（C）【941】，求解：代入，得=。=；。其中：，如圖所示：二、 高階偏導數(shù)定義：設有函數(shù)，稱，為函數(shù)的二階純偏導數(shù)，而稱，為函數(shù)的二階混合偏導數(shù)。【例】：，求。解：因為函數(shù)在整個定義域內(nèi)表達形式不一樣，所以在這里我們只能根據(jù)定義來求解。尤其注意在不等號的左邊表達式是錯誤的。求對y的偏導數(shù)時，將x視為常數(shù)，對y求導數(shù)。四、作業(yè) 同步訓練習題一、 偏導數(shù)概念 偏增量： 全增量： 定義1：設函數(shù)在P0（x0，y0）的某鄰域內(nèi)有定義。 說明5：在二元函數(shù)的情況，函數(shù)在某一點可微的幾何意義就是曲面在這一點有切平面存在。（5） 偏微分和全微分的定義（15分鐘）；（6） 全微分存在的必要條件（5分鐘）；（7） 全微分存在的充分條件（10分鐘）；（8） 多元函數(shù)可微、可導、連續(xù)三者的關系（10分鐘）；（9） 全微分形式的不變性（5）（10） 多元函數(shù)全微分在近似計算中的應用（10分鐘）說明1：多元函數(shù)的連續(xù)性要給出兩種定義，補上精確的定義方式（即用“εδ”語言的定義方式，以便讓學生能深刻理解多元函數(shù)連續(xù)的意義。第二節(jié) 偏導數(shù)一、內(nèi)容要點1． 偏導數(shù)的定義及其計算法2． 高階偏導數(shù)二、教學要求和注意點教學要求：理解多元函數(shù)偏導數(shù)的概念，并會求具體多元函數(shù)的一階偏導數(shù)和高階偏導數(shù)，知道多元函數(shù)的連續(xù)性與偏導數(shù)之間的關系。【注】：等價定義：函數(shù)在點P0（x0,y0）連續(xù)（2）、利用多元函數(shù)的連續(xù)性來解決極限問題。 （2）、上面例題說明，在（0，0）處的二重極限不存在。所以我們說函數(shù)在（0，0）的極限不存在。如：兩個重要極限，等價無窮小法則等等。必須滿足。 二元函數(shù)的圖形由上一章的內(nèi)容可知是一張曲面。其一：我們規(guī)定的定義域，即中，x，y的取值范圍。通常情況下，這個值是唯一的，這時我們稱為單值函數(shù)，但有時侯取值不是唯一的，這時我們稱為多值函數(shù)。 聚點：P點的任何一個鄰域內(nèi)都有無限個屬于點集的點，稱P為點集的聚點。 連通：如果點集內(nèi)的任意兩點都能用全屬于的折線連接起來，則稱為連通的。四、作業(yè) 同步訓練習題一、 平面區(qū)域首先我們來了解一下在平面區(qū)域內(nèi)平面點集的知識： 鄰域：給定平面內(nèi)P0（x0，y0）點，和某數(shù)0，以P0點為圓心，為半徑作圓，該圓內(nèi)所有點的全體，即，稱為P0點的鄰域，記做：，簡記； 內(nèi)點：在平面點集，存在P0的一個鄰域，使得，則稱P0為的內(nèi)點； 開集：平面點集內(nèi)的所有點都是內(nèi)點，則稱點集為開集； 邊界點：在平面上，存在某個點P，在P的任何鄰域內(nèi)，都含有點集的點，又含有不是點集的點，則稱點P為點集的邊界點。三、教學設計與安排 時間分配：（1） 平面點集和n維空間（30分鐘）；（2） 多元函數(shù)的定義（10分鐘）；（3） 多元函數(shù)的極限（40分鐘）；（4） 多元函數(shù)的連續(xù)性（20分鐘）；說明1：把一元函數(shù)的概念推廣到多元函數(shù)之前必須把多維空間的領域概念解釋清楚，因為多元函數(shù)許多與一元函數(shù)不同的特殊性質(zhì)是由多維空間中的領域性質(zhì)決定的。二、教學內(nèi)容及學時分配：第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 2課時 第二節(jié) 偏導數(shù) 1學時第三節(jié) 全微分 1學時第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則 2學時習題課 2學時第五節(jié) 隱函數(shù)的求導公式 2學時第六節(jié) 多元函數(shù)微分學的幾何應用 2學時第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 2學時第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法 2學時 習題課 2學時三、教學內(nèi)容的重點及難點：重點：1． 多元函數(shù)的極限與連續(xù)；2． 偏導數(shù)的定義；全微分的定義3． 多元復合函數(shù)的求導法則；隱函數(shù)的求導法則4． 方向?qū)?shù)與梯度的定義5． 多元函數(shù)的極值與最值的求法難點：1． 多元函數(shù)微分學的幾個概念，即多元函數(shù)極限的存在性、多元函數(shù)的連續(xù)性、偏導數(shù)的存在性、全微分的存在性、偏導數(shù)的連續(xù)性之間的關系；2． 多元復合函數(shù)的求導法則中，抽象函數(shù)的高階導數(shù)；3． 由方程組確定的隱函數(shù)的求導法則；4． 梯度的模及方向的意義；5． 條件極值的求法四、教學內(nèi)容的深化和拓寬：1． 多元函數(shù)微分學的幾個概念的深刻背景；2． 多元復合函數(shù)的求導法則的應用；3． 由一個方程確定的隱函數(shù)，推廣到由方程組確定的隱函數(shù)4． 利用多元函數(shù)微分學的知識研究空間曲線和曲面的性質(zhì)；5． 將偏導數(shù)的概念推廣到方向?qū)?shù)，并由此得到梯地的概念6． 利用多元函數(shù)微分學的知識研究無條件極值與條件極值。(6) 會求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)。(2) 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。第八章 多元函數(shù)微分法及其應用上冊研究了一元函數(shù)微分法，利用這些知識，我們可以求直線上質(zhì)點運動的速度和加速度，也可以求曲線的切線的斜率，可以判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值等，但這遠遠不夠，因為一元函數(shù)只是研究了由一個因素確定的事物。一、教學目標與基本要求(1) 理解多元函數(shù)的概念。(5) 掌握復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)的求法。了解條件極值的概念，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求解一些較簡單的最大值和最小值的應用問題。教學注意點：多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)極限的定義表面上看起來非常相似，但也有不同的地方，要特別提醒學生注意，一元函數(shù)的方向極限只有兩個，即左極限和右極限，但多元函數(shù)的方向極限有無限多個，動點可以沿著直線的方向趨于定點，也可以沿著曲線的方向趨于定點，這意味著多元函數(shù)的極限較一元函數(shù)的極限復雜得多。說明3：在多元函數(shù)的范圍內(nèi)仍有基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的概念。所有邊界點組成的集合稱為邊界。 有界無界區(qū)域：對于平面點集，如果存在一個以原點為圓心的圓盤D，使，則稱為有界區(qū)域，否則稱為無界區(qū)域。【注】與定義1相似，我們可以直接定義n元函數(shù)（n≥1）； 定義1中，當x，y的值取定后，z的取值就根據(jù)f的方程來定。二元函數(shù)的定義域有兩種。如：，其定義域為：D={(x，y)| }。 解：顯然要使得上式有意義。三、求極限的方法一元函數(shù)求極限的方法及運算法則（）對多元函數(shù)依舊成立。 解：取不同路徑y(tǒng)=kx，當x趨近0時，y趨近0，但方式不同，顯然，當k取值不同是，極限也不相同?！祭剑?）顯然有：，但是二次極限不存在。【例】：任由上面例題可知，在（0，0）處是不連續(xù)的。特別：取得函數(shù)可以取得最大值與最小值之間的一切值。（2） 偏導數(shù)的定義及計算例題（15分鐘）；（3） 偏導數(shù)的幾何意義（10分鐘）；（4） 高階偏導數(shù)、混合導數(shù)與求導次序無關的條件（10分鐘）。說明4：混合導數(shù)與次序無關的條件在初等函數(shù)的范圍