多元函數(shù)微分學(xué)ppt課件(編輯修改稿)
2025-03-20 16:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ??多元函數(shù)的基本概念 (double limit) 的方式是任意的； 二重極限 . 30 則當(dāng) ?????? 22 )0()0(0 yx,0???01s i n)(li m),(li m 22220000???????? yxyxyxfyxyx試證例 證 ???? 01s i n)(2222yxyx?22 yx ?? 22 )0()0( ???? yx 2???? ?取 ????? 01s i n)( 2222yxyx有 證畢 . 多元函數(shù)的基本概念 )0( 22 ?? yx2222 1s i nyxyx ?????? ?? ?31 32 相同點(diǎn) 多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的 一元函數(shù) 在某點(diǎn)的極限存在的充要 定義相同 . 差異為 必需是點(diǎn) P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨 而 多元函數(shù) 于 P0時(shí) , 多元函數(shù)的基本概念 相同點(diǎn) 和 差異 是什么 條件是左右極限都存在且相等 。 都有極限 , 且相等 . )(Pf33 確定極限 關(guān)于二元函數(shù)的極限概念可相應(yīng)地推廣到 n元函數(shù)上去 . 多元函數(shù)的基本概念 不存在 的方法 則可斷言極限不存在 。 ),( yxP令若極限值與 k 有關(guān) , (1) (2) 此時(shí)也可斷言 找兩種不同趨近方式 , 但兩者不相等 , ),(l im00yxfyyxx??使處極限不存在 . 存在 , 在點(diǎn)),( yxf),( 000 yxPkxy ? ),( 000 yxP趨向于沿直線 34 定義 設(shè) n 元函數(shù) )( Pf 的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, PD 是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ? ，總存在正數(shù) ? ，使得對(duì)于適合不等式??? ||00PP 的一切點(diǎn) DP ? ，都有??? |)(| APf 成立，則稱 A 為 n 元函數(shù) )( Pf當(dāng) 0PP ? 時(shí)的極限，記為 APfPP??)(lim0. n 元函數(shù)的極限利用點(diǎn)函數(shù)的形式有 35 ,0??? ,)()(當(dāng) ??????? 2210 nxxxx ?,0???),( yxfzA ?為則稱Ayxfyxyx ?? ),(lim ),(),(00記作 )0(),( ?? ?Ayxf或多元函數(shù)的基本概念 )( ?? ?定義 有 成立 . 的極限 . 時(shí)當(dāng) ),(),( 00 yxyx ? 設(shè) n元函數(shù) P0(x1,…., xn)是 D的聚點(diǎn) . 的定義 ),()(nxxfPf ?1?義域?yàn)?D, 如果存在常數(shù) A, ????? AyxfAPf ),()(APfPP ?? )(lim0也記作 ).()( 0PPAPf ??或36 設(shè)函數(shù) 討論 : 當(dāng) P(x, y)沿 x軸 的方向 當(dāng) P(x, y)沿 y軸 的方向 )0,(lim 0 xfx ?),0(lim 0 yfy ?也有 ???????????0,00,),(222222yxyxyxxyyxf證 220 00lim???? xxx 00lim 0 ?? ?x220 00limyyy ???? 00lim 0 ?? ?y多元函數(shù)的基本概念 函數(shù)的極限是否存在？ ,0,0 時(shí)當(dāng) ?? yx無限接近點(diǎn) (0,0)時(shí) , 同樣 , 無限接近點(diǎn) (0,0)時(shí) , 例 37 函數(shù)的極限存在且相等 . 當(dāng) P(x, y) 沿直線 y = kx 的方向 2200l i m yx xyyx ??? 22220l i mxkxkxkxyx ???? 21 kk??其值隨 k的不同而變化 . 所以 ,極限不存在． 多元函數(shù)的基本概念 說明函數(shù)取上面兩個(gè) 無限接近 于點(diǎn) (0,0)時(shí) , 另一方面 , 無限接近點(diǎn) (0,0)時(shí) , 設(shè)函數(shù) 討論 : ???????????0,00,),(222222yxyxyxxyyxf函數(shù)的極限是否存在？ ,0,0 時(shí)當(dāng) ?? yx特殊方向 38 例 證明 不存在． 證 26300limyxyxyx ???取 ,3kxy ?26300l i myxyxyx ??? 6263303l i mxkxkxxkxyx ????? ,1 2kk??其值隨 k的不同而變化， 故極限不存在． 39 極限 是否存在？ 24200limyxyxyx ???取 ,kxy ?解 242yxyx?????),(lim 0 yxfkxyx當(dāng) P(x,y)沿 x軸的方向無限接近點(diǎn) (0,0)時(shí) , 當(dāng) P(x,y)沿 y軸的方向無限接近點(diǎn) (0,0)時(shí) , )0,(lim 0 xfx ? 0?222243kxkxxkxkx????),0(lim 0 yfy ? 0?多元函數(shù)的基本概念 0l i m 220???? kxkxkxyx40 多元函數(shù)的基本概念 極限不存在 . 取 ,2xy ?242yxyx???? 444xxx極限 是否存在？ 24200limyxyxyx ???2141 二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則和 基本性質(zhì)與一元函數(shù)類似。 多元函數(shù)的基本概念 42 ),(),( yxgyxf ?Ayxfyxyx??),(li m),(),( 00,),(lim),(),(Byxgyxyx?? 00BA?),(),( limlim),(),(),(),(yxgyxfyxyxyxyx 0000 ???定理 1：二元函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則 定理 2：若 且 則 即 ),(),(),( yxgyxhyxf ??Ayxgyxyx??),(lim),(),( 00,),(lim),(),(Ayxfyxyx?? 00),(
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