多元函數(shù)微分學(xué)ppt課件-wenkub.com
2025-02-18 16:07 本頁面
【正文】 ),(limlim00????????yxfxxyy與????????),(limlim00yxfyyxx第二 , 一般也是不相同的 。 都有極限 , 且相等 . )(Pf33 確定極限 關(guān)于二元函數(shù)的極限概念可相應(yīng)地推廣到 n元函數(shù)上去 . 多元函數(shù)的基本概念 不存在 的方法 則可斷言極限不存在 。1 第六章 多元函數(shù)微分學(xué) DxyzOM?xyP),( yxfz ?2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法 多元函數(shù)的連續(xù)性 隱函數(shù)存在定理 第六章 多元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù) 多元函數(shù)的極限 方向?qū)?shù)與梯度 多元函數(shù)的微分中值定理與泰勒公式 極值問題 3 第一節(jié)、多元函數(shù) 1. 平面點(diǎn)集 n 維空間 一元函數(shù) 1R平面點(diǎn)集 2R n 維空間 nR實(shí)數(shù)組 (x, y)的全體 , 即 },),({2 RyxyxRRR ????建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)面 . 坐標(biāo)面 坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì) P的點(diǎn)的集合 , 稱為 平面點(diǎn)集 , 記作 }.),(),({ PyxyxE 具有性質(zhì)?(1) 平面點(diǎn)集 二元有序 多元函數(shù)的基本概念 4 鄰域 (Neighborhood) 設(shè) P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一個(gè)點(diǎn) , 幾何表示： O x y . P0 })()(),({),( 20200 ?? ????? yyxxyxPU,0 鄰域的點(diǎn) ?P多元函數(shù)的基本概念 令 ,0??).( 0PU有時(shí)簡(jiǎn)記為 2R稱之為 ① 將鄰域去掉中心 , ② 也可將以 P0為中心的 某個(gè)矩形內(nèi) (不算周界 ) 注 稱之為 的全體點(diǎn)稱之為點(diǎn) P0鄰域 . 去心鄰域 . ),( 0 ?PU?5 (1) 內(nèi)點(diǎn) 顯然 , E的內(nèi)點(diǎn)屬于 E. ,EP ?點(diǎn),)( EPU ?使多元函數(shù)的基本概念 E (2) 外點(diǎn) 如果存在點(diǎn) P的某個(gè)鄰域 ),(PU則稱 P為 E的 外點(diǎn) . (3) 邊界點(diǎn) 如點(diǎn) P的 任一 鄰域內(nèi)既有屬于 E的點(diǎn) , 也有不屬于 E的點(diǎn) , 稱 P為 E的 邊界點(diǎn) . 任意一點(diǎn) 2RP ? 2RE ?與任意一點(diǎn)集 之間 必有以下三種關(guān)系中的一種 : 設(shè) E為一平面點(diǎn)集 , ,0??若存在 稱 P為 E的 內(nèi)點(diǎn) . 1P?)( 1P)( 2P 2P?3P ?)( 3PE的邊界點(diǎn)的全體稱為 E的 邊界 , 記作 .E?使 U(P) ∩ E = ?, 6 聚點(diǎn) 多元函數(shù)的基本概念 如果對(duì)于任意給定的 ,0?? 點(diǎn) P的去心鄰域 ),( ?PU 內(nèi)總有 E中的點(diǎn) 則稱 P是 E的 聚點(diǎn) . 例如 , 設(shè)點(diǎn)集 (P本身可屬于 E,也可不 屬于 E ), },21),({ 22 ???? yxyxE,),( 200 RyxP ?點(diǎn) ,21 2020 ??? yx若 則 P為 E的內(nèi)點(diǎn) 。 ),( yxP令若極限值與 k 有關(guān) , (1) (2) 此時(shí)也可斷言 找兩種不同趨近方式 , 但兩者不相等 , ),(l im00yxfyyxx??使處極限不存在 . 存在 , 在點(diǎn)),( yxf),( 000 yxPkxy ? ),( 000 yxP趨向于沿直線 34 定義 設(shè) n 元函數(shù) )( Pf 的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, PD 是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ? ，總存在正數(shù) ? ，使得對(duì)于適合不等式??? ||00PP 的一切點(diǎn) DP ? ，都有??? |)(| APf 成立，則稱 A 為 n 元函數(shù) )( Pf當(dāng) 0PP ? 時(shí)的極限，記為 APfPP??)(lim0. n 元函數(shù)的極限利用點(diǎn)函數(shù)的形式有 35 ,0??? ,)()(當(dāng) ??????? 2210 nxxxx ?,0???),( yxfzA ?為則稱Ayxfyxyx ?? ),(lim ),(),(00記作 )0(),( ?? ?Ayxf或多元函數(shù)的基本概念 )( ?? ?定義 有 成立 . 的極限 . 時(shí)當(dāng) ),(),( 00 yxyx ? 設(shè) n元函數(shù) P0(x1,…., xn)是 D的聚點(diǎn) . 的定義 ),()(nxxfPf ?1?義域?yàn)?D, 如果存在常數(shù) A, ????? AyxfAPf ),()(APfPP ?? )(lim0也記作 ).()( 0PPAPf ??或36 設(shè)函數(shù) 討論 : 當(dāng) P(x, y)沿 x軸 的方向 當(dāng) P(x, y)沿 y軸 的方向 )0,(lim 0 xfx ?),0(lim 0 yfy ?也有 ???????????0,00,),(222222yxyxyxxyyxf證 220 00lim???? xxx 00lim 0 ?? ?x220 00limyyy ???? 00lim 0 ?? ?y多元函數(shù)的基本概念 函數(shù)的極限是否存在？ ,0,0 時(shí)當(dāng) ?? yx無限接近點(diǎn) (0,0)時(shí) , 同樣 , 無限接近點(diǎn) (0,0)時(shí) , 例 37 函數(shù)的極限存在且相等 . 當(dāng) P(x, y) 沿直線 y = kx 的方向 2200l i m yx xyyx ??? 22220l i mxkxkxkxyx ???? 21 kk??其值隨 k的不同而變化 . 所以 ,極限不存在． 多元函數(shù)的基本概念 說明函數(shù)取上面兩個(gè) 無限接近 于點(diǎn) (0,0)時(shí) , 另一方面 , 無限接近點(diǎn) (0,0)時(shí) , 設(shè)函數(shù) 討論 : ???????????0,00,),(222222yxyxyxxyyxf函數(shù)的極限是否存在？ ,0,0 時(shí)當(dāng) ?? yx特殊方向 38 例 證明 不存在． 證 26300limyxyxyx ???取 ,3kxy ?26300l i myxyxyx ??? 6263303l i mxkxkxxkxyx ????? ,1 2kk??其值隨 k的不同而變化， 故極限不存在． 39 極限 是否存在？ 24200limyxyxyx ???取 ,kxy ?解 242yxyx?????),(lim 0 yxfkxyx當(dāng) P(x,y)沿 x軸的方向無限接近點(diǎn) (0,0)時(shí) ,
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