【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)一點(diǎn) 行為 的刻劃 ? 定義 : 設(shè) a是 ?定義的內(nèi)點(diǎn) . U是 a的鄰域 – ?在 a點(diǎn)增 : ?x?U, x?a, 則 (?(x)?(a))?(xa)0。 – ?在 a點(diǎn)減 : ?x?U, x?a, 則 (?(x)?(a))?(xa)0。 – ?在 a點(diǎn)不減 : ?x?U, 則 (?(x)?(a))?(xa)?0。 – ?在 a點(diǎn)不增 : ?x?U, xa, 則 (?(x)?(a))?(xa)?0。 – a點(diǎn)是 ?的局部嚴(yán)格最大值點(diǎn) : ?x?U, x?a, ?(x)?(a)。 – a點(diǎn)是 ?的局部嚴(yán)格最小值點(diǎn) : ?x?U, x?a, ?(x)?(a)。 – a點(diǎn)是 ?的局部最大值點(diǎn) : ?x?U, ?(x)??(a)。 – a點(diǎn)是 ?的局部最小值點(diǎn) : ?x?U, ?(x)??(a). 34 導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)一點(diǎn) 行為 的刻劃 ? ??(a)充分條件 : – 若 ??(a)0, 則 ?在 a點(diǎn)增 。 (Darboux引理 ) – 若 ??(a)0, 則 ?在 a點(diǎn)減 。 (Darboux引理 ) – 若 ?x?U, x?a, ??(x)?(xa)0, 則 a局部嚴(yán)格最大值點(diǎn) 。 – 若 ?x?U, x?a, ??(x)?(xa)0, 則 a局部嚴(yán)格最小值點(diǎn) 。 ? 必要條件 : 設(shè) ??(a)存在 . – 若 ?在 a點(diǎn)不減 , 則 ??(a)?0。 – 若 ?在 a點(diǎn)不增 , 則 ??(a)?0。 – 若 a是 ?的極值點(diǎn) , 則 ??(a)=0. (Fermat引理 ) 35 中值定理 的意義及其邏輯 ? 中值定理要討論的問題 : 用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)值差的表達(dá)式 , 利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)研究值差以得到有關(guān)函數(shù)的信息。 ? 中值 (Lagrange)定理 : 若 ??C[a,b], 且在 (a,b)上點(diǎn)點(diǎn)可微 , 則 ?c?(a,b),使得 ?(b)?(a)=??(c)(ba). ? 其證明是基于 Fermat引理 . 邏輯順序 : Rolle定理(?(b)??(a), ?c?(a,b),使得 ??(c)=0)?Cauchy中值定理 (?,g?C[a,b]都在 (a,b)上點(diǎn)點(diǎn)可微 ,且 ?x? (a,b),g?(x)?0,則 ?c?(a,b),使得 (?(b)?(a))/(g(b)g(a))=??(c)/g(c)) ? Lagrange中值定理 . ? 附帶地得到導(dǎo)函數(shù)的介值性質(zhì)和間斷點(diǎn)的特點(diǎn) . 36 中值定理 的證明及其簡(jiǎn)單推論 ? Rolle定理的證明 : ?在 (a,b)上必有極值 . ? Cauchy定理的證明 : h(x)=(g(b)g(a))?(x)(?(b) ?(a))g(x), 則 h?C[a,b] 在 (a,b)上點(diǎn)點(diǎn)可微 ,且h(a)=h(b)=g(b)?(a)?(b)g(a). ? Lagrange定理的證明 : 在 Cauchy定理中取 g(x)=x就可以了 . ? Darboux定理 : 設(shè) ??在 (a,b)上可微 . 則 ??((a,b))是區(qū)間 . 因此 ??在 (a,b)上的間斷點(diǎn)只能是第二類間斷點(diǎn) . ? 證明 : (1) 證明零點(diǎn)定理 。 (2) 由 Lagrange定理第一類間斷點(diǎn)必為連續(xù)點(diǎn) . 37 例子 ? 例 1. 設(shè) ?(0)=0,而當(dāng) x?0時(shí) , ?(x)=x^2 cos(1/x). 因此 ??(0)=0,而當(dāng) x?0時(shí) , ??(x)=2xcos(1/x)+sin(1/x). ??在 x=0點(diǎn)的左右極限都不存在 . ? 例 2. ?(x)=2sqrt(|x|). 若 x?0, ??(x)=sgn(x)/sqrt(|x|). ??(0+)?+?, ??(0)?? (實(shí)際上 ,也是 ?在 x=0點(diǎn)左右“導(dǎo)數(shù)” ). ? 例 3. ?(x)=3x^(1/3). 若 x?0, ??(x)=x^(2/3). ??(0+)? ??(0)? +? (實(shí)際上 ,也是 ?在 x=0點(diǎn)的“導(dǎo)數(shù)” ). ? 在例 23的情形 , 稱 ?在 x=0點(diǎn)有 ? ?(左 ,右 )導(dǎo)數(shù) . 38 Lagrange中值定理的一些推論 ? 1. 若 ?x?(a,b), ??(x)=0,則 ?是 (a,b)上的常值函數(shù) . ? 2. 設(shè) ?在 (a,b)上可微 . 則 ?在 (a,b)上不減的充分必要條件是 ?x?(a,b), ??(x)?0. ? ?x?(a,b),??(x)0,則 ?在 (a,b)上是嚴(yán)格增的 . ? ?在 (a,b)上可微 . 則 ?在 (a,b)上嚴(yán)格增的充分必要條件是 ?x?(a,b), ??(x)?0, 并且在 (a,b)的子區(qū)間上不為常數(shù) . ? 推論 4的證明 : 必要性 : 由推論 3得到 ??(x)?0, 嚴(yán)格增給出后一部分 .充分性 : ??(x)?0給出不減 ,在(a,b)的子區(qū)間上不為常數(shù)給出嚴(yán)格 . 39 三個(gè)不等式 ? Young不等式 :設(shè) a,b?0, a+b? ?x?0,x^?ax+b. ? Young不等式的變形 : a^a?b^b? aa+bb. (x=a/b） ? H246。lder不等式 : 設(shè) ui, vi0, i=1,…,n. 則 ? Minkovski不等式 : 設(shè) p1, ai, bi0, i=1,…,n. 則 bbaa????????????????? ??????niiniiniii vuvu11111( ? pnipipnipipnipii baba111111??????+????????????? + ??????40 參變量函數(shù)求導(dǎo)定理 ? 定理 :設(shè) j(t),y(t)在 [a,b]上可微且 ?t?[a,b], j?(t) 0. 則由 x=j(t)和 y=y(t)可得 [j(a),j(b)]上的函數(shù)y=?(x). 即 ?=y?j^{1}. 特別 ??(j(t))=y?(t)/j?(t). ? 這個(gè)定理為研究參數(shù)曲線和參變量函數(shù)求導(dǎo)提供了工具 . ? 證明 : 鏈?zhǔn)椒▌t的推論 . ? 推論 : 參變量函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的公式 . ???(j(t))=(y??(t)j?(t)j??(t)y?(t))/(j?(t))^3. 41 習(xí)題二十一 (I) ? 1. 設(shè) ?(x)=xm(1x)n,其中 m, n為正整數(shù) . 證明 : ?c?(0,1)使得 m/n=c/(1c). ? 2. 證明 : 4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在 (0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根 . ? 3. 證明 : ex= ax2+bx+c的根不超過(guò)三個(gè) . ? 4. 設(shè) ??C[a,b]在 (a,b)上有 n階導(dǎo)數(shù) , 并且在 [a,b]上有 (按重?cái)?shù)計(jì) )n+1個(gè)零點(diǎn) . 證明 : ?(n)在 [a,b]上至少有一個(gè)零點(diǎn) . ? 5. 證明 : 一個(gè)有 (按重?cái)?shù)計(jì) )n+1個(gè)零點(diǎn)的次數(shù)不超過(guò) n的多項(xiàng)式必為零多項(xiàng)式 . 42 習(xí)題二十一 (II) ? ?在 (a,b)上可微 (其中 a可以是 ?,b可以是+?).證明 :如果 ?(a+)=?(b),則 ?c?(a,b)使得 ??(c) =0. ? 7. 設(shè) ?在 (a,b)上可微 . 證明 ?的兩個(gè)零點(diǎn)之間必有?+??的零點(diǎn) . ? :Legendre(勒讓德 )多項(xiàng)式 Pn(x)=1/(2^n n!)[(x^21)^n]^{(n)}在 [1,1]內(nèi)有 n個(gè)零點(diǎn) . ? 9. 證明 : ChebyshevLaguerre(切比雪夫 拉蓋爾 )多項(xiàng)式 Ln(x)=e^x[(x^ne^(x)]^{(n)}有 n個(gè)不同的零點(diǎn) . 43 習(xí)題二十一 (III) ? 10. 證明 : ChebyshevHermite (切比雪夫 厄爾米特 )多項(xiàng)式 Ln(x)=(1)^n/n!?e^(x^2/2)?[(e^(x^2/2)]^{(n)}有 n個(gè)不同的零點(diǎn) . ? 11. 證明 : (1) |sin xsin y|?|xy|。 (2) |cos xcos y|?|xy|。 (3) |arctan xarctan y|?|xy|。 (4) |arccot x arccot y|?|xy|. ? 12. 設(shè) ??C(a,b)且在 (a,c)?(c,b)上可導(dǎo) . 證明 : 如果 , 則??(c)=A. ? 13. 設(shè) ?在 (a,b)上可導(dǎo) , 并且 ??在 (a,b)單調(diào) . 證明???C(a,b). ? 14. 設(shè) ?在 (a, b)上可導(dǎo)并且 ??有界 . 證明 ?在 (a, b )上一致連續(xù) . 44 習(xí)題二十一 (IV) ? 15. 設(shè) ?在 (a, +?)上可導(dǎo)且 ??(x)?? (x?+?). 證明 ?在 (a, +?)上不一致連續(xù) . ? ?(x)=xlnx在 (0,+?)上不一致連續(xù) .而 g(x)=sqrt(x) ln x在 (0, +?)上一致連續(xù) . ? 17. 設(shè) ?(x)?(0)= x??(x(x)), 其中 0x(x)x. 證明對(duì)于?(x)=x sin (ln x), (x0), ?(0)=0， 對(duì)于 a0, x(x)在 (0,a)上不連續(xù) . ? 18. 定義 ?(x)=arctan((1+x)/(1x)) (x?1), ?(1)=0. 證明 ??在x=1點(diǎn)有極限 , 但是 ?在 x=1點(diǎn)的兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)都不存在 . 請(qǐng)給出你的解釋 . ? ??C[ah, a+h]在 (ah, a+h)上可導(dǎo) (h0).證明 :(1? ?q?(0,1??(a+h)?(ah)=[??(a+q h)+??(aq h)] h。 (2??q? (0,1?, ?(a+h)+?(ah)2?(a)=[??(a+ qh)??(a qh)] h2. 45 習(xí)題二十一 (V) ? 20. 設(shè) ??C[a, b]在 (a, b)上可導(dǎo) . 證明 : 如果 ?不是一次多項(xiàng)式 , 則 ?c?(a,b?, 使得 |??(c)||?(b)?(a)|/(ba). ? 21. 設(shè) ?在 [a, b]上有二階導(dǎo)數(shù)且 ??(b)???(a)=0. 證明 : ?c?(a,b?使得 |???(c)|4|?(b)?(a)|/(ba)^2. ? 22. 設(shè) ??C[a, b]在 (a, b)上可導(dǎo) . 證明 : (1)?c?(a,b?使得2c[?(b)?(a)]=(b2a2) ??(c)。 (2)若 a 0, ?c?(a,b?使得?(b)?(a)=c??(c) ln(b/a). ? 23. 設(shè) ??C[a, b]在 (a, b)上可導(dǎo) (ab0). 證明 : ?c?(a,b), )()()()(1 cfccfbfaf baab ??46 習(xí)題二十一 (VI) ? :(1)?|x|?1,2ar