[理學(xué)]多元函數(shù)微分學(xué)習(xí)題課(編輯修改稿)
2025-01-04 00:50 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3 ) 1 5 0ff ? ? ? ?( 5 , 5 ) ( 5 , 5 ) 450ff? ? ? ?(5 , 5 ) ( 5 , 5 )??與故 皆可作為攀登起點(diǎn) . 例 15. ( , ) 0 , ( , ) 0 ,f x y x y???已 知 兩 條 平 面 曲 線(xiàn)( , ) ( , )? ? ? ?和分 別 為 兩 曲 線(xiàn) 上 的 點(diǎn) ，試 證 ： 如 果 這 兩 點(diǎn) 是 這 兩 條 曲 線(xiàn) 上和 最 遠(yuǎn) 的 點(diǎn) ， 則 關(guān) 系 式( , ) ( , )( , ) ( , )xxyyff? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ?????.成 立相 距 最 近證 21 1 2 2( , , , )g x y x y d?設(shè) 221 2 1 2( ) ( ) ,x x y y? ? ? ?( , , , )? ? ? ?則 為 1 1 2 2( , , , )g x y x y 在 條 件11( , ) 0 ,f x y ?22( , ) 0xy? ? .下 的 極 值 點(diǎn)設(shè) 221 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( , ) ( , )F x x y y f x y x y? ? ?? ? ? ? ? ?則 有1 2 ( ) ( , ) 0yyFf? ? ? ? ???? ? ? ?2 2 ( ) ( , ) 0xxF ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?1 2 ( ) ( , ) 0xxFf? ? ? ? ???? ? ? ?2 2 ( ) ( , ) 0yyF ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?221 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( , ) ( , )F x x y y f x y x y? ? ?? ? ? ? ? ?解得關(guān)系式 ( , ) ( , )( , ) ( , )xxyyff? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ?????故命題得證 . P92. 10. 2222262z x yzz x y? ????? ? ???求 曲 線(xiàn) 上 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 的.最 小 值 和 最 大 值解 . 問(wèn)題為在約束條件 222,z x y?? 2262z x y? ? ? 下， .z求 的 最 小 與 最 大 值由于曲線(xiàn)為一條封閉曲線(xiàn)，因此 z坐標(biāo)的最大與最小值肯定存在 . 設(shè) ( , , )F x y z ? 2 2 2 2( 2 ) ( 6 2 )z z x y z x y??? ? ? ? ? ? ?則有 ???????2 4 0xF x x??? ? ? ? ?4 2 0yF y y??? ? ? ? ?10zF ??? ? ? ? ?2220F z x y?? ? ? ? ?226 2 0F z x y?? ? ? ? ? ????????2 4 0xF x x??? ? ? ? ?4 2 0yF y y??? ? ? ? ?10zF ??? ? ? ? ?2220F z x y?? ? ? ? ?226 2 0F z x y?? ? ? ? ? ?整理得 ???????2 ( 2 ) 0xFx ??? ? ? ?2 ( 2 ) 0yFy ??? ? ? ?10zF ??? ? ? ? ?2220F z x y?? ? ? ? ?226 2 0F z x y?? ? ? ? ? ?由前三式得 0x ? 0,y ?或 代入后兩式解得 202xyz? ?????? ??024xyz??????? ??或 因此 z 坐標(biāo)的最大值為 4, 最小值為 2. 作業(yè) ? P102 ? 1 15 一、 選擇題 :1 、 二元函數(shù)22221a r c s in4lnyxyxz???? 的定義 域是 ( ). （ A ） 4122??? yx ； （ B ） 4122??? yx ； （ C ） 4122??? yx ； （ D ） 4122??? yx . 2 、設(shè)2)(),( yxyxxyf ?? , 則 ?),( yxf ( ) . （ A ）22)1(yyx ? ； （ B ） 2)1( yyx? ； （ C ） 22)1(xxy ? ； （ D ） 2)1( yxy? .測(cè) 驗(yàn) 題 3 、 ????22)(lim2200yxyxyx ( ) . (A ) 0 ； (B ) 1 ； (C ) 2 ； (D ) e . 4 、函數(shù) ),( yxf 在點(diǎn) ),(00yx 處連續(xù) , 且兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) ),(),(0000yxfyxfyx存在是 ),( yxf 在該點(diǎn)可微 的 ( ) . （ A ）充分條件 , 但不是必要條件； （ B ）必要條件 , 但不是充分條件； （ C ）充分必要條件； （ D ）既不是充分條件 , 也不是必要條件 . 5 、設(shè) ),( yxf????????????0,00,1s in)(22222222yxyxyxyx 則在原點(diǎn) )0,0( 處 ),( yxf ( ) . ( A) 偏導(dǎo)數(shù)不存在； (B ) 不可微； ( C) 偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)； ( D) 可微 . 6 、設(shè) ),(),( yxvvvxfz ?? 其中 vf , 具有二階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù) . 則 ???22yz( ) . ( A)222yvvfyvyvf????????????； (B )22yvvf?????； ( C)22222)(yvvfyvvf??????????； (D)2222yvvfyvvf???????????. 7 、曲面 )0(3?? aax y z 的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍 成的四面體的體積 V= ( ). ( A) 323a ； ( B) 33 a ； ( C) 329a ； ( D) 36 a . 8 、二元函數(shù)33)(3 yxyxz ???? 的極值點(diǎn)是 ( ). ( A) (1 ,2 ) ； ( B) (1 . 2 ) ； ( C) ( 1, 2) ； (D ) ( 1 , 1) . 9 、函數(shù) zyxu s i ns i ns i n? 滿(mǎn)足 )0,0,0(2?????? zyxzyx?的條件極值是 ( ) . ( A) 1 ； (B ) 0 ； ( C) 61 ； ( D) 81 . 10 、設(shè)函數(shù) ),(),( yxvvyxuu ?? 在點(diǎn) ),( yx 的某鄰 域內(nèi)可微分 , 則 在點(diǎn) ),( yx 處有 ?)( uvg r a d ( ). .)(。)(。)(。)(g r a d uvDg r a d vuCg r a d uvg r a d vuBg r a d vg r a d uA??????二、討論函數(shù)33yxyxz??? 的連續(xù)性，并指出間斷點(diǎn)類(lèi)型 .三、求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù) : 1 、yxzln? ； 2 、 ),(),( yxzx yzxyxfu ??? ； 3 、???????????000),(2222222yxyxyxyxyxf .四、設(shè) ),( zxfu ? , 而 ),( yxz 是由方程 )( zyxz ??? 所 確的函數(shù) , 求 du .五、設(shè) yxeuyxuz ?? ),( , 其中 f 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo) 數(shù) , 求yxz??? 2 .六、 設(shè) uvzveyvexu
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