[理學]復變函數(shù)第五章(編輯修改稿)
2025-01-04 00:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )(zf 的 m 級極點 , 那末 0z 就是 )(1zf 的 m 級零點 . 反過來也成立 . 證 如果 0z 是 )(zf 的 m 級極點 , 則有 )()( 1)(0zgzzzf m?? )0)(( 0 ?zg當 時 , 0zz ? )(1)()(1 0 zgzzzf m?? )()( 0 zhzz m??)( 0zh .0)( 0 ?zh函數(shù) 在 0z 解析且 由于 ,0)(1lim0?? zfzz 只要令 ,0)(10?zf 那末 0z )(1zf 的 m 級零點 . 就是 反之如果 0z )(1zf 的 m 級零點 , 是 那末 ),()()(1 0 zzzzf m ???當 時 , 0zz ? ),()( 1)(0zzzzf m ??? )(1)( zz ?? ?解析且 0( 0 ?z?所以 0z 是 )(zf 的 m 級極點 . 說明 此定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為 簡便的方法 . 例 8 函數(shù) zsin1有些什么奇點 , 如果是極點 , 指出 它的級 . 解 函數(shù)的奇點是使 0sin ?z 的點 , 這些奇點是 .)2,1,0( ?????? kkz 是孤立奇點 . ???? ?? kzkz zz c o s)( s i n因為的一級零點，是所以 zkz s i n??,0)1( ??? kzsin1 的一級極點 . 即 ),(1!3!211 zzzz ?????? ?解 ???????? ??? ??? 022 1!11nnznzzze解析且 0)0( ??所以 0?z 不是二級極點 , 而是一級極點 . 0?z 是 3sinhz z的幾級極點 ? 思考 例 9 問 0?z 是 2 1zez ?的二級極點嗎 ? 注意 : 不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論 . 四、小結(jié)與思考 理解孤立奇點的概念及其分類 。 掌握可去奇點、極點與本性奇點的特征 。 熟悉零點與極點的關(guān)系 . .)1(1)(33 的孤立奇點的類型確定函數(shù) ?? zezzf思考題 ,60 級零點是分母的?z思考題答案 .6)( 級極點的也即是函數(shù) zf放映結(jié)束，按 Esc退出 . 第二節(jié) 留 數(shù) 一、留數(shù)的引入 二、利用留數(shù)求積分 三、在無窮遠點的留數(shù) 四、典型例題 五、小結(jié)與思考 一、留數(shù)的引入 01010 )()()( czzczzczf nn ???????? ???? ???C0z )(zf設(shè) 為 的一個孤立奇點 。 內(nèi)的洛朗級數(shù) : )(zf Rzz ??? 00在 ?? ?????? nn zzczzc )()( 0010z. 的某去心鄰域 0z Rzz ??? 00鄰域內(nèi)包含 0z 的任一條正向簡單閉曲線 12 ??? ic?? ??????? ??? zzzczzzczc nCnCCd)(d)(d 0010??? ??????? ?? ????CCnn zzzczzzc d)(d)(1010?Czzf d)(積分0 (高階導數(shù)公式 ) 0 (柯西 古薩基本定理 ) i?2的系數(shù)洛朗級數(shù)中負冪項 101 )( ?? ? zzczzficCd)(2 11 ????即 ]),(R e s [ 0zzf?的留數(shù)在 0)( zzf定義 記作 ].),(R e s [ 0zzf域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負 .))( 101 的系數(shù)冪項 ?? ? zzc為中心的圓環(huán)在即 0)( zzf)(0 zfz 為函數(shù) 的一個孤立奇點 , 則沿 Rzzz ??? 00 0的某個去心鄰域在 內(nèi)包含 0z 的 任意一條簡單閉曲線
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