[理學(xué)]復(fù)變函數(shù)第五章-在線瀏覽
2025-01-25 00:49本頁(yè)面
【正文】 C 的積分 ?Czzf d)( 的值除 i?2 后所得的數(shù)稱為 .)( 0 的留數(shù)在 zzf以 如果 二、利用留數(shù)求積分 說(shuō)明 : 內(nèi)部處處解析；上及在 CCzf )(.12. 留數(shù)定理將沿封閉曲線 C積分轉(zhuǎn)化為求 被積函數(shù)在 C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù) . )(zf 在區(qū)域 D內(nèi)除有限個(gè)孤 nzzz , 21 ?外處處解析 , C 是 D內(nèi)包圍諸奇 點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線 , 那末 .]),(R e s [2d)(1?????nkkCzzfizzf立奇點(diǎn) 函數(shù) 證 ??? ???nCCCzzfzzfzzf d)(d)(d)(21??? zzfCd)(zzfizzfizzfinCCCd)(2 1d)(2 1d)(2 121??? ?????? ?]),(R e s []),(R e s []),(R e s [ 21 nzzfzzfzzf ???? ?.]),(R e s [1即可得???nkkzzf[證畢 ] 兩邊同時(shí)除以 且 i?21z 2znzD?C. . . 如圖 (1) 如果 0z 為 )(zf 的可去奇點(diǎn) , .0]),(R e s [ 0 ?zzf則).()(lim]),(Re s [ 0000zzfzzzzf zz ??? ?如果 為 的一級(jí)極點(diǎn) , 那末 0z )(zf?規(guī)則 1 成洛朗級(jí)數(shù)求 .1?c(2) 如果 0z 為 的本性奇點(diǎn) , )(zf(3) 如果 0z 為 的極點(diǎn) , 則有如下計(jì)算規(guī)則 )(zf)(zf 展開 則需將 如果 為 的 級(jí)極點(diǎn) , 0z )(zf m) ] .()[(d dlim)!1( 1]),(Re s [ 01100zfzzzmzzf mmmzz??? ????規(guī)則 2 證 ?????? ???? 2020 )()()( zzczzczf mm ???????? ?? )()( 010101 zzcczzc101010 )()()()( ????? ??????? mmmm zzczzcczfzz ??????? ? 10100 )()( mm zzczzc那末 ,)!1()]()[(ddlim 10110??????? cmzfzzz mmmzz10 ]),(R e s [ ?? czzf所以+(含有 正冪的項(xiàng) ) 0zz? 1)!1( ??? cm) ] .()[(ddlim)!1( 1 0110zfzzzm mmmzz??? ???)]()[(dd 011zfzzz mmm???兩邊求 1?m 階導(dǎo)數(shù) , [證畢 ] 得 ?規(guī)則 3 如果 ,0)(,0)(,0)( 000 ???? zQzQzP設(shè) ,)( )()( zQ zPzf ? )(zP 及 )(zQ 在 0z 都解析， 證 0)(,0)( 00 ??? zQzQ因?yàn)?z所以 的一級(jí)零點(diǎn) , 為 )(zQ)(1zQ0z 的一級(jí)極點(diǎn) . 為 那末 0z 為 的一級(jí)極點(diǎn) , )(zf .)( )(]),(R e s [000 zQzPzzf?? 且有 解析且 0z .0)()( 00 ?zzP ?在 因此 ),(1)(10zzzzQ ????其中 在 解析且 )(z? 0z ,0)( 0 ?z?0z所以 為 的一級(jí)極點(diǎn) , )(zf)()(l i m]),([Re s 000zfzzzzf zz ?? ?00 )()()(lim0zzzQzQzPzz??
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