【正文】 }G z z R?? 是開集；{ | | }G z z R??： 是閉集，{ | | }CG z z R??因為它的余集 ： 是開集；| | .z R G? 是 的邊界2022/3/13 28 ?二 、 區(qū)域 1． 連通： 設(shè) G中任何兩點都可以用完全屬于 G的折線連接起來 ， 則稱 G是連通的 ． 2． 區(qū)域： 連通的開集稱為區(qū)域 ， 記為 D． 3． 閉區(qū)域： 區(qū)域 D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域 ， .D記為4． 有界 、 無界區(qū)域： （ 如上定義 ） 5． 圓環(huán)域： 1 1 2 .r z z r? ? ?滿足不等式 的所有點構(gòu)成的區(qū)域例如 有界域： 0 ,z z R?? 1 1 2r z z r? ? ?無界域： 0 ,z z R?? Im 0z ?角形域： 0 a rg z ???帶形域： Ima z b??2022/3/13 29 ? 例 1． 試說出下列各式所表示的點集是怎樣的圖形，并指出哪些是區(qū)域： (1) 0,zz?? ( 2 ) | 2 | 1,zi? ? ? ( 3 ) 0 a r g .3z ???解： (1 ) 2 0 ,z z x? ? ? ?即是 表示右半平面，這是一個區(qū)域( 2 ) | 2 ) | | ( 2 ) | 1z i z i? ? ? ? ? ? ?2 1 .i??這表示以 為中心，以為半徑的圓周連同其外部區(qū)域，這是一個閉區(qū)域( 3 ) 0 a r g a r g 0 a r g .33z z z??? ? ? ?表示介于兩射線 及 之間的一個角形區(qū)域?三 、 平面曲線 1．平面曲線的復(fù)數(shù)式 ( ) , ( )x t y t若 是兩個連續(xù)實函數(shù)，() , ( ) .()x x t a t by y t?? ?????則 表示一個平面曲線的參數(shù)方程，稱為連續(xù)曲線( ) ( ) ( )z t x t iy t??令， 平面曲線的 復(fù)數(shù)形式參數(shù)方程 2022/3/13 30 ? 例 2． ( ) c o s s i n ( 0 2 )z z t t i t t ?? ? ? ? ?方程 表示怎么樣的曲線？cos ,sinxtyt?????02t ??? 圓周參數(shù)方程 解： ? 例3． ( 1 ) 0 1z i t t? ? ? ?方程 ， 表示怎樣的曲線？0 2 1tz?? ? ?當 時，(0 1 )xt tyt?? ??? ??解： 直線的參數(shù)方程 yx?或12( 1 ) 0 1 0 1z i t t z z i? ? ? ? ? ? ?， 表示過點 ， 的直線段2．光滑曲線 ( ) , ( )x t y t設(shè)函數(shù) 滿足： 1 ( ) , ( ) [ , ]x t y t a b??（） 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù)22( 2) [ , ] [ ( ) ] [ ( ) ] 0t a b x t y t??? ? ?當 時，( ) ( )z x t iy t??則稱曲線 為 光滑曲線 由若干段光滑曲線所組成的曲線稱為 分段光滑曲線 ． 2022/3/13 31 ? 例4． 23 , ( 1 1 )z t i t t? ? ? ? ? 表示怎樣的曲線？解： 22,x t y t??它相當于 yx??可得：容易驗證： 0 ( 0 ) ( 0 ) 0 ,t x y??? ? ?當 時，有 0t ?曲線在 處不光滑，因此該曲線是分段光滑曲線． 3．簡單閉曲線 ( ) , ( ) ( ) ,z a z b z z t?分別稱 為曲線 的起點與終點( ) ( )z z t a t b? ? ?若曲線 ， 滿足下列條件：(1 ) ( ) ( ) 。aa? ? ? ? ? ? ?加法： 減法： ,aa? ? ? ? ? ? ? ?乘法： aa?? ? ? ? ? ?除法： 0,a a?? ? ??0( 1 ) , , 0 , ,0 a? ? ? ? ? ? ? ?? 仍然無意義；,??(2) 對于復(fù)數(shù) 來說，其模規(guī)定為+ 而實部、虛部和輻角均沒有意義， ||z z z? ? ?因此對于復(fù)數(shù) ，都有 ，則稱 為有限復(fù)數(shù)；2022/3/13 34 ( 3 ) ?在復(fù)平面上我們可以設(shè)想復(fù)平面上有一個理想點與對應(yīng)，這個點稱為 無窮遠點 ， 復(fù)平面加上無窮遠點稱為 擴充復(fù)平面 ， 擴充復(fù)平面上的每一條直線都通過無窮遠點 . （ 4） 無窮遠點的鄰域 ： | | ( 0 ) .z M M??包含無窮遠點自身在內(nèi)且滿足 的所有點的集合復(fù)球面定義 ：球面上的每一點都有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，這樣的球面稱為復(fù)球面； | | ( 0 ) .z M M??不包含無窮遠點自身且滿足 的所有點的集合?二 、 復(fù)球面 NS復(fù)球面復(fù)平面N? ? ????除北極 外復(fù)數(shù) 復(fù)平面上的點 球面上的點N? ? ?無窮遠點 點（ 5） 無窮遠點的去心鄰域 ： 2022/3/13 35 第五節(jié) 復(fù)變函數(shù) ?一 、 復(fù)變函數(shù)的概念 說明： zG?對于集合中的每一個復(fù)數(shù) ，就有一個或幾個復(fù)數(shù)w u i v?? 與之對應(yīng)， 那么稱復(fù)變數(shù) w是復(fù)變數(shù) z的函數(shù) ， 即 復(fù)變函數(shù) ， ()w f z?記做1． 定義：設(shè) G是一個復(fù)數(shù)的集合 ， 如果有一個確定的法則存在 ， 按照這一法則 ， ( 1 ) ( )z w f z若 的一個值對應(yīng)著 的一個值，稱 為單值函數(shù)，()fz若對應(yīng)著兩個或兩個以上個值，稱 為多值函數(shù)；*G z w G而對應(yīng)于 中所有 的一切 值組成的集合 ，稱為函數(shù)值的集合.2 ( )G f z（ ）這里 稱為 的定義集合（定義域），2022/3/13 36 2． 復(fù)變函數(shù)與二元函數(shù)的關(guān)系 ( ) ( , ) , ( , )w f z u u x y v v x y? ? ? ?相當于 為兩個兩元實函數(shù)( ) ( , ) ( , )w f z u x y iv x y? ? ?因此可以利用兩個二元實變函數(shù)來討論 ( ) .w f z?復(fù)變函數(shù)? 例1． 2 .wz?求復(fù)變函數(shù) 對應(yīng)的兩個二元函數(shù)解： ,z x iy??設(shè) 2 2 2 2( ) ( ) 2w z x i y x y i x y? ? ? ? ? ?故對應(yīng)的二元函數(shù)為： 22 , 2 .u x y v x y? ? ?? 例2． 將下列兩個二元實變函數(shù)表示為復(fù)變函數(shù) ， ,zz即用 表示：222 2 2 2( 1 ) ( , ) ( , ) ( 0)xyu x y v x y x yx y x y? ? ? ???，( 2 ) 3 .w x iy??221( 1 ) ,x iy zw u ivx y zzz?? ? ? ? ??11( 2 ) 3 3 ( ) ( ) 222w x iy z z i z z z zi? ? ? ? ? ? ? ?解： 2022/3/13 37 3． 映射的概念 在 “ 高等數(shù)學 ” 中 ， 常把函數(shù)用幾何圖形來表示 ， 這樣 ， 可以直觀地幫助我們理解和研究函數(shù)的性質(zhì) ． 對于復(fù)變函數(shù) ， 由于它反映了兩對變量和之間的對應(yīng)關(guān)系 ， 因而無法用同一個平面的幾何圖形表示出來 ， 必須把它看成兩個復(fù)平面上的點集之間的對應(yīng)關(guān) 系 ． ( ) , ( , ) ( , )w f z x y u v??復(fù)變函數(shù) 是點 點 ，用兩個復(fù)平面來表示.( ) ,y f x x y??實函數(shù) 是 ，可用直角坐標系來表示；1 1 1z x iy??2 2 2z x iy??z平面 w平面1 1 1w u iv??2 2 2w u iv??()w f z?2022/3/13 38 ? 例3． .wz?研究函數(shù) 構(gòu)成的映射00wzz a ib w a bi?? ? ? ? ?z平面w平面z w w z?若把 平面和 平面重疊在一起，則 是關(guān)于實軸的一個對稱映射.2022/3/13 39 ? 例4． 221 4w z x y wz? ? ?函數(shù) 將 平面上曲線 映成 平面上怎樣的曲線？