【正文】 線 1 ,w z uv?? ??? 滿足怎樣的關(guān)系？22 1,4x y u v??消去 得： 22 14uv??22 4xy??2022/3/13 40 2 .wz?研究函數(shù) 構(gòu)成的映射? 例5． ( 1 ) 0 a r gz z w???將 平面上角形域 映射到 成怎樣域？(2 ) 1z z w?將 平面上給出圓周 映射到 平面成怎樣曲線？111 , , 1 ,22z x x y y w? ? ? ?(3) 將 平面中直線 映射到 平面怎樣曲線？2 12( 4 ) ,w z w u C v C z? ? ?將 平面上的直線 映射成 平面的怎樣的曲線？解： （ 1）由乘法的模與幅角定理可知： 其象是 2倍角域 , 20 a r g 2z ???即：2( 2 ) 1 1zz ? ??? ? ?曲線2 2 2( 3 ) ( ) 2w x i y x y i x y? ? ? ? ?因為22( , ) , ( , ) 2u x y x y v x y x y? ? ?所以1zx ?平面上直線 代入上式，21 , 2u y v y? ? ?得： ，214vyu ??消去 得：22( 4) , 2u x y v x y? ? ?22 12,2x y C x y C? ? ? ? .z是 平面上的雙曲線2022/3/13 41 反函數(shù) （ 逆映射 ） ( ) ,w f z z G?設(shè)函數(shù) 定義集合為 平面上的集合 wG ?函數(shù)值集合為 平面上的集合 ，G w G?那么 中每一點 將對應(yīng) 中的點， ( ) ,G z w?? ?按函數(shù)定義，在 上確定一個函數(shù)1( ) ( ) .w f z w f z???稱為 的反函數(shù)或逆映射，記?二 、 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù) 1． 復(fù)變函數(shù)的極限 定義 1． 00( ) 0w f z z z z ?? ? ? ?設(shè)函數(shù) 在 的去心鄰域 內(nèi)有定義，A如果有一個確定的復(fù)數(shù) 存在， 0? ?對于任意給定的 ，( ) ( 0 )? ? ? ???總存在一個正數(shù) ， 00 z z z?? ? ?使得對滿足 的一切，()f z A ???都有 ， 0()A f z z z那么稱 為函數(shù) 當 趨向 時的極限，0 0l i m ( ) ( ) (zz f z A f z A z z? ? ? ?記做 或 當 時) .2022/3/13 42 定理 1．設(shè)函數(shù) 0 0 0 0 0( ) ( , ) ( , ) , , ,f z u x y iv x y A u iv z x iy? ? ? ? ? ?0 0 , 0 0 , 000l im ( ) l im ( , ) , l im ( , )z z x x y y x x y yf z A u x y u v x y v? ? ? ? ?? ? ? ?則證明： 必要性 0lim ( )zz f z A? ?220 0 00 , 0 ( ) ( )z z x x y y??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?當 時，有220 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )f z A u u i v v u u v v ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，0 0 0( ) ( )u u i v v u u? ? ? ? ?而， 0 0 0( ) ( )u u i v v v v? ? ? ? ?220 0 0 00 , 0 ( ) ( ) ,x x y y u u v v? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?當 時，有 及00 0,l i m ( , ) .x x y y v x y v?? ?00 0,l i m ( , )x x y y u x y u?? ?即： ，充分性 0 , 0 0 , 000l im ( , ) , l im ( , )x x y y x x y yu x y u v x y v? ? ? ???已知 ，220 0 0 00 , 0 ( ) ( ) ,22x x y y u u v v????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?當 時，有0 0 0 0( ) ( ) ( ) ,f z A u u i v v u u v v? ? ? ? ? ? ? ? ?而00 ( ) 22z z f z A????? ? ? ? ? ? ?所以當 時，有 ，0li m ( ) .zz f z A? ?即：2022/3/13 43 ( ) ( , ) ( , )f z u x y i v x y??這個定理是將求復(fù)變函數(shù) 的極限問題轉(zhuǎn)化為( , ) , ( , ) .u u x y v v x y??求兩個二元實函數(shù) 的極限問題?說明：關(guān)于含 的極限可以作如下定義：01l im ( ) l im ( )tzf a f z at? ? ?? ? ?( a 為有限復(fù)數(shù))001l im 0 l im ( )()z z z z fzfz??? ? ? ?01l im 0 l im ( )1()tz fzft? ? ?? ? ? ?定理 2．如果 0lim ( ) ,zz f z A? ?0lim ( ) ,zz g z B? ? 則 0( 1 ) l i m [ ( ) ( ) ] ,zz f z g z A B? ? ? ?0( 2 ) l i m ( ) ( ) ,zz f z g z A B? ? ? ?0()( 3 ) l i m , ( 0).()zzf z A Bg z B? ??2022/3/13 44 ? 例1． 0Re() zf z z zz??證明函數(shù) ，當 時，極限不存在.證明： z x iy??設(shè)，22Re() zxfzz xy?? ?則2 2 20 0 01l i m ( ) l i m ( , ) l i m( ) 1z y k x y k xxf z u x yx k x k? ? ? ? ?? ? ? ???0 0 ,z y k x??讓 沿著直線 趨向 則0l i m ( )zzk f z?該極限隨 的不同而不同，故極限 不存在.( c o s si n )z r i????設(shè)， c o s( ) c o srfzr? ???則，另證： a r g 0 ( )z z f z? ?當 沿不同射線 趨向于 時， 趨向于不同的值.a r g 0 ( ) 1z z f z??比如：當 沿實軸 趨向于零時，函數(shù) ；a r g ( ) 0 .2z z f z???當 沿虛軸 趨向零時，函數(shù)2022/3/13 45 2． 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性 0 00l i m ( ) ( ) ( )zz f z f z f z z? ?如果 ，則稱函數(shù) 在點 處是連續(xù)的,()f z D如果 在區(qū)域 內(nèi)處處連續(xù)，( ) .f z D則稱 在 上的連續(xù)函數(shù)定理 3．函數(shù) 0 0 0( ) ( , ) ( , )f z u x y i x y z x iy? ? ? ?在點 處連續(xù)的充分必要條件是00( , ) , ( , ) ( , ) .u x y v x y x y二元函數(shù) 在 處連續(xù)? 例2． 2 2 2 2( ) l n( ) ( ) .f z x y i x y? ? ? ?討論函數(shù) 的連續(xù)性2 2 2 2l n( ) , ,u x y v x y? ? ? ?二元函數(shù)解： (0 , 0 ) ,在除了 外處處連續(xù)( ) ( 0 , 0 )fz故函數(shù) 在復(fù)平面上除 外處處連續(xù).說明： 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的定義與實函數(shù)的極限與 連續(xù)性的定義形式上完全相同，因此高等數(shù)學中的 有關(guān)定理依然成立，因此又有 有界閉區(qū)域上連續(xù)函 數(shù)的性質(zhì) ． 2022/3/13 46 定理 4． (1)連續(xù)函數(shù)的和 、 差 、 積 、 商 （ 分母不為 0） 是連續(xù)函數(shù)； (2)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù)． ( ) 。 復(fù)變函數(shù) 與積分變換 主講：周暉杰 寧波大學科技學院數(shù)學組 二零零七年六月 大學數(shù)學多媒體課件 2022