【正文】 復變函數(shù) 與積分變換 主講：周暉杰 寧波大學科技學院數(shù)學組 二零零七年六月 大學數(shù)學多媒體課件 2022/3/13 2 參考用書 ? 《復變函數(shù)與積分變換》 , 華中科技大學數(shù)學系 , 高等教育出版社 , ? 《復變函數(shù)與積分變換學習輔導與習題全解》 , 華中科大 , 高等教育出版社 ? 《復變函數(shù)》 , 西安交通大學高等數(shù)學教研室 , 高等教育出版社 , 2022/3/13 3 目 錄 ?第二章 解析函數(shù) ?第三章 復變函數(shù)的積分 ?第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 ?第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 ?第六章 傅立葉變換 ?第七章 拉普拉斯變換 ?第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 2022/3/13 4 第一章 復數(shù)與復變函數(shù) ? 內(nèi)容提要：復變函數(shù)就是自變量為復數(shù)的函數(shù)，本章先學習復數(shù)的概念、性質(zhì)與運算，然后再引入平面上的點集、復變函數(shù)極限、連續(xù)．本章中的許多概念在形式上與微積分學中一些基本概念有相似之處，可以把它們看作微積分學中相應(yīng)的概念及定理在復數(shù)域中的推廣． 2022/3/13 5 第一章 復數(shù)與復變函數(shù) ? 復數(shù) ? 復數(shù)的三角表示 ? 平面點集的一般概念 ? 無窮大與復球面 ? 復變函數(shù) ? 本章小結(jié) ? 思考題 2022/3/13 6 第一節(jié) 復數(shù) ?一、復數(shù)的基本概念 ( R e ) , R ex z a l z x?稱 為 的實部 記( I m a g in a r y ) , I my z z y?稱 為 的實部 記2,zi??例如： R e 2 , I m 1zz??則0 0 , ,x y z iy? ? ?當 且 時 則 稱為純虛數(shù)；0,y z x??特別地，當 時 則 為實數(shù)；1 x y x i y?定義 ：設(shè) 與 都是實數(shù)，稱 為復數(shù)，z x iy??記為：2022/3/13 7 1 1 1 2 2 2z x iy z x iy? ? ? ?定義2 ：設(shè)兩復數(shù) 與 ，1 2 1 2 1 2z z x x y y? ? ? ?則，1 2 1 2R e R e , I m I mz z z z??即?二、復數(shù)的代數(shù)運算 1 1 1 2 2 2z x iy z x iy? ? ? ?設(shè)復數(shù) 與 ，則、差、積、商 1 2 1 2 1 2( ) (z z x x i y y? ? ? ? +)和與差： 積： 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )z z x x y y i x y x y? ? ? ? ?商： 1 1 2 1 2 2 1 1 222 2 2 22 2 2 2 2( ) ( ) , 0z x x y y x y x yizz x y x y??? ? ???復數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律． 2022/3/13 8 2．共扼復數(shù)及性質(zhì) z x i y x i y z z? ? ?定義3 ：設(shè)復數(shù) ，則稱復數(shù) 為 的 ，記做 共 軛 復數(shù)重要性質(zhì)： 111 2 1 2 1 2 1 22 2( 1 ) , , zzz z z z z z z zz z??? ? ? ? ?????? ?( 2 ) zz?222( 3 ) ( R e ) ( I m )z z z z z???(4 ) 2 R ez z z?? , 2 I mz z i z???復數(shù)的共扼性質(zhì) 在實際計算和證明中有廣泛應(yīng)用 2022/3/13 9 ? 例 1．計算復數(shù) 3223ii??解： 1 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 22 2 2 2 2( ) ( )z x x y y x y x yiz x y x y?????? 2 2 2 23 2 ( 2 ) 3 2 ( 2 ) 3 32 3 2 3ii? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???法一（商的公式） 法二（共軛性質(zhì)） _ _ _ _ _ _1 1 2 1 2___ 22222||z z z z zzzzz?????22( 3 2 ) ( 2 3 ) ( 6 6) ( 4 9)( 2 3 ) ( 2 3 ) 2 3i i i iii? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?應(yīng)用共扼性質(zhì)來計算顯得簡單，在后面計算中要靈活運用共軛 2022/3/13 10 ? 例 2． 22 ) ( ) 0 , , .x y i x y x y? ? ? ? ?設(shè)（ 求實數(shù)解： 220 ,0xyxy? ? ??????由題意得 12 .14xxyy? ? ?????? ? ? ???解得： 或? 例 3． 13 , R e ( ) , I m ( ) .1iz z z z zii? ? ? ?設(shè)復數(shù) 求 與解： 131izii? ? ? ?因為 3 ( 1 ) 3 1( ) ( 1 ) ( 1 ) 2 2i i i ii i i i?? ? ? ?? ? ?223 1 3 1 5R e , I m , ( ) ( )2 2 2 2 2z z z z? ? ? ? ? ? ?所以2022/3/13 11 ? 例 4． 1 1 1 2 2 2,z x iy z x iy? ? ? ?設(shè) 為兩個任意復數(shù)，證明： 1 2 1 2 1 22 R ez z z z z z??證明：1 2 1 2 1 1 2 3 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )z z z z x i y x i y x i y x i y? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x y y i x y x y x x y y i x y x y? ? ? ? ? ? ? ?21 2 1 2 12 ( ) 2 R ex x y y z z? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z? ? ?1 2 1 22 R e ( ) 2 R e ( )z z z z??證法二： 2022/3/13 12 第二節(jié) 復數(shù)的表示法 ?一、復平面 定義： ( ) ( )xy由實軸 軸 ，虛軸 軸 按直角坐標系構(gòu)成的平面，稱為復平面（或z平面）o 實軸虛軸復平面( , )M x y z x i y??在復平面內(nèi)任一點 與復數(shù) 是一一對應(yīng)x iy?yx復數(shù)的模： 22z x y r? ? ?z復數(shù)的幅角： Argz? ??主幅角： ( , ]argz ????a r g 2 ( 0 , 1 , 2 , )A r g z z k k?? ? ? ? ? ??????即：一復數(shù)的輻角 Argz是多值的 2022/3/13 13 ?二、復數(shù)的表示法 1．復數(shù)的向量表示法 O M z x iy? ? ?因此 22 ,z r x y? ? ? t a n( ) yArgz x?顯然有不等式： , , , 。x z y z z x y z x y? ? ? ? ? ?2 2z z z z??zo 實軸虛軸復平面x iy?xy M2 1 1 2z z z z? 表示 與 的距離1z2z復數(shù)、復平面上點、向量之間一一對應(yīng) 1 2 1 2 1 2 1 2,z z z z z z z z? ? ? ? ? ?共軛復數(shù)之間的幾何關(guān)系：z x iy z x iy x? ? ? ?與 ，關(guān)于 軸對稱1zxyo, a r g a r gz z z z? ? ?且有：2022/3/13 14 2．復數(shù)的三角