【正文】 表示法 利用直角坐標與極坐標的關系： c o s , s i nx r y r????復數(shù)的三角表示式： ( c o s s i n ) ( c o s s i n )z x iy r i z i? ? ? ?? ? ? ? ? ?( c o s s i n ) [ c o s ( ) s i n ( ) ]z r i r i? ? ? ?? ? ? ? ? ?3．復數(shù)的指數(shù)表示法 利用歐拉公式 ： c o s s i niei? ????復數(shù)的指數(shù)表示式： ,iiz z e re???? iz z e ???注意：復數(shù)的三角表示式不是唯一的，因為輻角有無 窮多種選擇，如果有兩個三角表示式相等： 1 1 1 2 2 2( c os si n ) ( c os si n ) ,r i r i? ? ? ?? ? ?則可以推出： 12,rr? 12 2,k? ? ??? k其中 為整數(shù)22c os , sin, a r c ta n( c os si n )x r y r yr x y xz x iy z r i???????? ? ?????????? ? ? ?? ??????? c o s s i niei iz r e? ?? ????????? ?? ?????2022/3/13 15 ? 例 1． 12 2zi? ? ?將 化為三角表示式和指數(shù)表示式.解： 4,zr?? ?因為輻角 在第三象限，則2 3 5a r c t a n a r c t a n3 6 612?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??23ta n , ( , ) ,212yx? ? ? ??? ? ??21t a n t a n( ) , ( 0 , ) ,212? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??于是 554 [ c o s ( ) s in ( ) ]66zi ??? ? ? ?564 ie ???主幅角值的確定： a r g ta n , 0 , 0, 0 ,a r g20a r c ta n , 0 , 0, 0 , 0yxyxxyzzyxyxxy?????????? ? ?? ????????? ???當當 0當當2022/3/13 16 練習 32zi? ? ?將 化為三角表示式和指數(shù)表示式.| 3 2 | 1 3 ,ri? ? ? ? 22a r c ta n a r c ta n33? ? ?? ? ? ??221 3 [ c o s ( a r c ta n ) s in ( a r c ta n ) ]33zi ??? ? ? ?2( ta n )34 ar c ie ? ??模 主輻角 解： ? 例 2． 32xy??將直線方程 化為復數(shù)表示式.解： 2,z z x??由于 2z z iy??1 ( ) ,2x z z??可得： 1 ()2y z zi??32xy??代入 得： 13( ) ( ) 222z z z zi? ? ? ?( ) 3 ( ) 4i z z z z i? ? ? ?化簡得：( 3 ) ( 3 ) 4i z i z i? ? ? ? ?即： 為 復數(shù)形式的直線方程 復數(shù)形式的直線方程為 ( ) 0fz ?2022/3/13 17 ? 例 3． 1 1 1 2 2 2z x iy z x iy? ? ? ?通過兩點 與 的直線用復數(shù)的參數(shù)方程來表示解： 1 1 2 2( , ) ( , )x y x y通過兩點 與 的直線方程為 112 1 2 1y y x xy y x x???參數(shù)方程為 1 2 11 2 1() ()()x x t x x ty y t y y? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ??由參數(shù)式得復數(shù)形式參數(shù)方程為 1 2 1( ) ,z z t z z? ? ? ()t?? ? ? ?() ,()x x t tDy y t?? ????若平面上曲線的參數(shù)方程為： 則定義 ( ) ( ) ,z x t i y t t D? ? ? 為復數(shù)形式的參數(shù)方程.定義：復數(shù)形式的參數(shù)方程 1 1 1 2 2 2z x iy z x iy? ? ? ?所以連接 與 的直線段的參數(shù)方程為:1 2 1( ) , 0 1z z t z z t? ? ? ? ?1 2 1 2 1()z z z z z z t? ? ?記住：過 與 兩點的直線段的參數(shù)方程為:2022/3/13 18 o xy? 例 4．求下列方程所表示的曲線 (1) 2,zi?? (2 ) 2 2 ,z i z? ? ? ( 3 ) Im ( ) 4 .iz??解： 1 2 2z i i? ? ?（） 表示與點 距離為 的點的軌跡， 2i?即圓心為 ，半徑為 的圓i?i2,zi??2z x i y z i? ? ? ?化為直角坐標方程：將 代入 中，得：( ) 2x iy i? ? ? ， 22( 1 ) 2xy? ? ?即： ，22( 1 ) ? ? ?化簡得：(2 ) 2 2 2 2z i z i? ? ? ?到 與 距離相等點的軌跡22i ?即表示曲線是連接點 和 的直段的垂直平分線，yx??化為直角坐標方程為：( 3 ) Im ( ) 4 .iz?? z x iy??設， (1 )i z x y i? ? ? ?那么14y??代入得： ， 3y ??即：2022/3/13 19 ?三、復數(shù)的三角表示及指數(shù)表示作乘除法 11 1 1 1 1( c o s s i n ) | | ,iz z z e ???? ? ?設有兩復數(shù) 22 2 2 2 2( c o s s i n ) | | iz z z e ?? ? ?12zz??那么1 2 1 2 1 2[ ( c o s ( ) ( s i n s i n ) ]z z i? ? ? ?? ? ? ? ?12()12 iz z e ?????1 2 1 2 ,z z z z? ? ? 1 2 1 2Ar gz z Ar gz Ar gz? ? ?即： 模 輻角 定理 1：兩個復數(shù)乘積的模等于它們模的乘積，幅角等于它們的幅角之和． 說明： 1 2 1 2( 1 ) A rg z z A rgz A rgz? ? ?多值函數(shù)相等的理解：由于幅角是多值的， （ ） 理解為：12( 2) zz ?當用向量表示復數(shù)時，表示乘積 的向量是1 2 1 2 1 2 1 2 1 2[ ( c o s c o s s i n s i n ) ( c o s s i n s i n c o s ) ]z z i? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?對于左端的任一個值，右端有一值與它對應，反之也一樣；例如： 1 2 1 2k k k Z k k k? ? ?若 ， ， ，則 成立1 2 1 2k k k Z k k k? ? ?若 ， ， ，則2 不成立1 2 2,z A r g z z從表示 的向量旋轉一個角度 并伸長( 縮短) 到 陪得到.2022/3/13 20 例如： 21 ,iz i e ???若 22 ,iz z e ?? ()212iz z iz z e ?? ?? ? ?則1 2 2 2z z z?? 只由 通過逆時針旋轉 ，沒伸縮.01 8 0 .zz?再如， 相當于 通過逆時針旋轉 而得121 ()1 1 1 2 1 2( 3 ) , nniii n n n nz r e z r e z z z r r r e? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?若 ，可得定理 2：兩復數(shù)的商的模等于它們模的商，幅角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差． 證明： 111 iz z e ??設，222 ,iz z e ?? 1( 0)z ?1212()2 1 21 2 1||||iiiz z e z ez z e z???????則2211