[理學(xué)]復(fù)變函數(shù)第五章-預(yù)覽頁
【正文】 ??.)( )(00zQzP??.)()(1)(0zzPzzzf ????四、典型例題 例 1 求 nzzezf ?)( 在 0?z 的留數(shù) . 解 階極點，的是因為 nzfz )(0??????? 0,R e snzze所以.)!1( 1?? n???????? ??? ??? nznnnz zezzn 110 ddlim)!1(1例 2 求 6s i n)( )()( z zzzQ zPzf ??? 在 0?z 的留數(shù) . 分析 ,0)0()0()0( ?????? PPP .)0( ????P0?z 是 zz sin? 的三級零點 由規(guī)則 3得 .s i nd dlim)!13( 1]0),(R e s [ 63220 ?????? ???? ? zzzzzzf z的三級極點，是所以 )(0 zfz ?計算較麻煩 . 如果利用洛朗展開式求 1?c 較方便 : ?????????????? ?????? ?!5!31s i n 5366zzzzzzzz.!510,s i nR e s 16 ????????? ?? ?cz zz,!5!353???? zz解 說明 : 0z如 為 m 級極點，當 m 較大而導(dǎo)數(shù)又難以計算時 , 可直接展開洛朗級數(shù)求 1?c 來計算留數(shù) . ? ? ?????? ???? ? 66550s i nddlim)!16(10),(Re szzzzzzf z.!51??2. 在應(yīng)用規(guī)則 2時 , 取得比實際的級數(shù)高 . 級數(shù)高反而使計算方便 . :6?m 1. 在實際計算中應(yīng)靈活運用計算規(guī)則 . 為了計算方便一般不要將 m 但有時把 m取得比實際的 如上例取 例 3 求 5 1)( zezfz ?? 在 0?z 的留數(shù) . 解 0?z 是 )(zf 的四級極點 . ???????? ?????????? 1!6!5!4!3!21116543255 ?zzzzzzzze z,!6!51!4 1!3 1!2 11 234 ???????? zzzzz1]0),(R e s [ ?? czf所以 .241!41 ??在 ???? z0 內(nèi)將 展成洛朗級數(shù) : )(zf例 4 計算積分 ,d)1( 2 zzzeCz? ? C為正向圓周 : .2?z解 zzz ezzfzzd)1(l i m]0),([R e s 20 ????,)1(lim 20 ??? ze zz?????????? ? 221 )1()1(d dlim)!12( 1]1),(Re s [ zz ezzzfzz0?z 為一級極點 , 1?z 為二級極點 , ?????????? zezzz ddlim1 21)1(l i mzze zz??? ,0?zzz eCzd)1( 2? ?所以)01(2 ??? i? ?]1),(R e s []0),(R e s [2 zfzfi ???.2 i??五、小結(jié)與思考 本節(jié)我們學(xué)習(xí)了留數(shù)的概念、計算以及留數(shù) 定理 . 應(yīng)重點掌握計算留數(shù)的一般方法 ,尤其是極 點處留數(shù)的求法 , 并會應(yīng)用留數(shù)定理計算閉路復(fù) 積分 . .2:,d)1(s i n22正向計算 ??? zCzzz zC思考題 思考題答案 .1sin2放映結(jié)束，按 Esc退出 .
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